copt-linear-program

name	copt-linear-program
description	Models and solves linear programs (LP) with Cardinal Optimizer (coptpy). Restates natural-language word problems into LP before building and solving. Use when the user mentions COPT/coptpy, linear programming, LP, word problems, applications, story problems, natural-language descriptions, 应用题, 线性规划文字题, or matrix-form constraints such as inequality systems, equality systems, and variable bounds.

用 COPT 求解线性规划（Linear Program, LP）

适用场景

• 线性目标：min 或 max 的 c^T x
• 线性约束：A_ub x <= b_ub、A_eq x == b_eq（可只用其中一类或组合）
• 变量界：每个 x_j 可有下界、上界（或无界）

输入：可以是自然语言/应用题，也可以是已给定的系数矩阵或 JSON。不要默认要求用户先整理成矩阵；仅在用户已提供矩阵或完成符号化后，再用 JSON 字段复现或调用 solve_lp。

Quick Start（先做这个）

按下面清单执行并在回答中保留结构：

• 路径判断：用户给的是自然语言，还是已给矩阵/JSON
• 输出重述（1-2 句）
• 请用户确认重述是否正确（若有问题则澄清，无误则继续）
• 列变量/目标/约束（符号化）
• 需要时提关键澄清问题，或明确写出假设
• 给出求解结果（目标值 + 变量值）
• 用 1-2 句解释业务含义

执行流程（两条路径）

flowchart LR
  A[Matrix_or_JSON]
  B[Natural_language]
  A --> A1[Build_or_solve_lp]
  B --> B1[Restate]
  B1 --> B2[User_confirm]
  B2 --> B3[Clarify_or_assume]
  B3 --> B4[Symbolic_model]
  B4 --> B5[Numeric_or_addVar]
  B5 --> B6[Solve_and_report]
  A1 --> B6

路径 A：已有矩阵或 JSON

1. 核对维度：c 长度、A 行列、b 长度与约束条数一致。
2. 用 scripts/solve_lp.py 中的 solve_lp，或按「手建模型」自行写 coptpy（适合需要命名变量、稀疏结构的题）。

路径 B：自然语言 / 应用题

用户未给数字矩阵时，Agent 不要先索要 JSON。按下面交付物顺序推进：

步骤	内容
1. 重述	用一两句话复述题意，便于用户确认理解是否正确。
2. 用户确认	请用户确认重述是否准确，如有偏差则澄清；无异议再继续。
3. 符号化	变量表：名称、含义、单位（若有）、是否非负。目标：min 还是 max，线性式。约束：逐条写出，并标明 <= / >= / =（注意「不超过」「不少于」与不等号方向）。
4. 数值化	把符号模型写成 c、A_ub/b_ub、A_eq/b_eq、bounds；或跳过稠密矩阵，用 addVar + addConstr + 有意义约束名直接建模。
5. 求解与回答	给出最优值、各变量取值；必要时用一句话解释经济/物理含义（用户未问不必展开对偶或灵敏度）。

输出模板（推荐）

回答尽量按以下模板组织（可省略不适用小节）：

### 问题重述
...

### 符号化模型
- 决策变量：...
- 目标函数：...
- 约束：...

### 数值化（可选）
- c: ...
- A_ub / b_ub: ...
- A_eq / b_eq: ...
- bounds: ...

### 求解结果
- status: ...
- objective: ...
- x: ...

### 结果解释
...

歧义与澄清

建模前若信息不足，优先提问；若是标准教材题型，可列出假设再求解，并在重述中写明假设：

• 目标是最小化成本/资源还是最大化利润/效用（口语可能含糊）。
• 「至多 / 不超过」→ 通常对应 <=；「至少 / 不少于」→ 通常对应 >=（按变量所在一侧核对）。
• 是否允许分数解（连续 LP 默认可行）；若题意明确要求整数台数、0-1 选址等，见下节，勿当连续变量悄悄求解。
• 非负：产量、投入量等若题中未写，常默认 >=0，须在变量表里写明「假设非负」。
• 多商品、多期、多维约束：检查下标与矩阵行、列是否一一对应，避免把行维与列维弄反。

范围与非 LP（本 skill 边界）

本文件针对连续变量的 LP。若叙述中出现下列情况，应向用户说明已超出纯 LP，需 MILP、非线性或其它建模，禁止不声明就把整数松弛成连续变量：

• 整数 / 0-1 决策（台数、选或不选、开或关）。
• 二次项、两变量乘积、分段线性外的非线性。
• 逻辑蕴含（「若选 A 则必须…」）常需整数与 Big-M，不是纯 LP。

可建议用户另建 MILP skill 或使用 coptpy 的整数能力自行扩展；scripts/solve_lp.py 仅实现 LP。

矩阵 / JSON 格式（可选，便于复现与脚本）

在已具备数值化结果或用户直接给出下列结构时使用：

• sense：min 或 max
• c：目标系数向量，形状 (n,)
• A_ub / b_ub（可选）：满足 A_ub @ x <= b_ub（行与 b_ub 同长）
• A_eq / b_eq（可选）：满足 A_eq @ x == b_eq
• bounds（可选）：长度 n，每项 [lb, ub]
  • null 表示该侧无界：例如 [0, null] 即 x >= 0 且无上界；[null, 10] 即 x <= 10 且无下界（在 Python/JSON 解析后常为 None；solve_lp 已兼容 None 与字符串 "null"）
  • 也可用具体数值如 0、-1.2
• time_limit（可选）：求解时间上限（秒）

更多样例在 reference/ 目录（见 reference/README.md）：矩阵 JSON 见 reference/matrix-json-examples.md；自然语言 → 建模 见 reference/natural-language-examples.md。

环境与导入

import coptpy as cp
from coptpy import COPT

无界一侧用 lb=-COPT.INFINITY 或 ub=COPT.INFINITY。

依赖与授权（不自动安装）

本 skill 不会自动下载 COPT；授权与安装通常需人工完成。

• ModuleNotFoundError: No module named 'coptpy' 在当前环境执行：pip install coptpy（需要时 pip install --upgrade coptpy）。

• License 未找到 / 授权失败（日志中常见 No license found 等） 安装或配置 COPT 许可证；常将 license 文件放在固定目录，并设置环境变量 COPT_LICENSE_DIR 指向该目录，然后重启 Python 或 IDE。

• COPT 求解器本体未安装 从官方获取与系统匹配的安装包（如 Windows x64），安装后再安装 coptpy 或按厂商说明配置 Python 接口。

手建模型（与矩阵模板等价）

不写 scripts/solve_lp.py、直接写 coptpy 时的骨架如下（线性表达式用 cp.quicksum 较稳妥）：

env = cp.Envr()
model = env.createModel("lp")
# x = [model.addVar(lb=..., ub=..., name="..."), ...]
# model.addConstr(cp.quicksum(...) <= 或 == ...)
# model.setObjective(cp.quicksum(...), sense=COPT.MINIMIZE 或 COPT.MAXIMIZE)
model.setParam(COPT.Param.TimeLimit, 10.0)  # 可选
model.solve()
# if model.status == COPT.OPTIMAL: obj = model.objval; 各变量 .x

状态、自检与向用户解释

求解前自检

• len(c) == n；A_ub、A_eq 的列数均为 n；len(b_ub)、len(b_eq) 分别等于不等式、等式行数。
• 若省略 bounds，solve_lp 对变量默认 全实数；应用题若隐含非负，必须显式给出 bounds 或改掉默认。

求解后状态（对用户说明时可照搬含义）

• COPT.OPTIMAL：存在有限最优解。
• COPT.INFEASIBLE：可行域为空——约束与界互相矛盾，或某条不等式方向写反；可请用户核对题意与符号化步骤。
• COPT.UNBOUNDED：沿改善目标的方向可行域无界——常见是少界、少约束，或把 <=/>= 建反导致可行方向错误。

脚本：solve_lp

完整实现见 scripts/solve_lp.py（bounds 兼容 None / "null"，与 JSON 解析一致）。

在项目或 REPL 中可将 skill 根目录下的 scripts 加入模块搜索路径后导入，或把该文件复制到工程内：

import sys
from pathlib import Path

sys.path.insert(0, str(Path(__file__).resolve().parent / "scripts"))  # 按实际路径调整
from solve_lp import solve_lp

result = solve_lp(
    c=[3, 5],
    A_ub=[[1, 2], [2, 1]],
    b_ub=[100, 120],
    bounds=[(0, None), (0, None)],
    sense="max",
)

也可在配置好 COPT 后直接运行：python scripts/solve_lp.py（内置与 reference/natural-language-examples.md 中「示例 0：两产品生产」一致的最小冒烟用例）。

端到端「自然语言 → 符号 → JSON」例题见 reference/natural-language-examples.md（含示例 0 及运输、配方等）。

建模提示

• 无界（UNBOUNDED）常见原因：缺少必要的上/下界，或约束不足以挡住沿目标方向的射线。
• 构建左端线性式时优先使用 cp.quicksum，一般比手写长串 + 更清晰且更高效。