// 數學證明撰寫技能 — 從主張提取到 LaTeX 排版的完整證明工作流。當使用者需要撰寫或驗證數學定理、引理、命題的形式證明，或需要推導公式、整理理論分析時，一定要使用此技能。觸發詞包括：數學證明、prove、theorem、lemma、proposition、推導、理論分析、寫 proof、LaTeX 數學、formal proof。適用於機器學習理論、統計學習理論、最佳化等需要嚴謹數學推導的場景。
Complete academic research skill suite covering the full pipeline: paper reading (read/explain papers with storytelling), idea generation (brainstorm research directions), experiment design (plan experiments, ablation, baselines), proof writing (mathematical proofs, LaTeX theorems), paper writing (draft to camera-ready for top venues like NeurIPS/ICLR/ACL), paper review (structured 4-step review with scoring), and professor fit analysis (evaluate advisors, cold emails, interview strategy). Trigger keywords: read paper, brainstorm, experiment design, prove, write paper, review, professor fit, advisor, cold email, LaTeX, research, NeurIPS, ICLR, ACL, arXiv, 讀論文, 寫論文, 審稿, 實驗設計, 數學證明, 研究方向, 教授分析, 選指導教授.
analyze a professor from google scholar, publication lists, personal websites, lab pages, and field-specific bibliographic databases (e.g., DBLP, PubMed, SSRN, PhilPapers, MathSciNet, arXiv, Scopus) to evaluate research strength, mentoring quality, collaboration network, lab resources, research taxonomy, future directions, applicant fit, outreach emails, and interview strategy. designed for students at all levels — PhD applicants, master's students, and undergraduate researchers (capstone/thesis/independent study) — across all academic disciplines. use when the user wants to assess whether a professor or lab is worth applying to, compare advisors, prepare a cold email, find a thesis or capstone advisor, infer future research openings, or build a structured dossier from public academic evidence.
學術研究實驗設計技能——從研究假設到可重現實驗計畫的完整流程。當使用者需要規劃實驗、設計 ablation study、選擇 baseline、確定評估指標，或問「我應該跑哪些實驗」時，一定要使用此技能。觸發詞包括：實驗設計、experiment design、ablation、baseline、跑什麼實驗、evaluation metric、如何驗證方法。適用於機器學習、NLP、CV 等領域的實驗規劃。
學術研究的 Idea 產生技能——從發散到收斂，系統化地產出高品質研究構想。當使用者想腦力激盪研究方向、找新 research idea、或問「我接下來可以做什麼研究」時，一定要使用此技能。觸發詞包括：brainstorm、想 idea、研究方向、下一步做什麼、有什麼可以研究的、找 gap、research proposal。適用於任何階段的學術研究構想生成。
太奶讀論文 — 一位百歲阿嬤用繁體中文、生活比喻和動漫梗，帶你讀懂學術論文。當使用者提供論文 PDF、arXiv 連結、或貼上論文文字，並想理解論文內容時，一定要使用此技能。觸發詞包括：讀論文、解釋論文、看不懂、幫我理解這篇、這篇在說什麼、paper reading、explain this paper。適用於任何學術論文的直觀導讀。
學術論文審稿技能 — 以結構化四步驟流程完成深度論文審查，涵蓋批判性審查、分數預測、要點精煉與正式審稿產出。當使用者需要 review 一篇論文、模擬 reviewer 反應、評估論文能否被接收、或幫助判斷論文優缺點時，一定要使用此技能。觸發詞包括：review 這篇、幫我審稿、reviewer 會怎麼說、這篇能上嗎、paper review、給分數、找 weakness。適用於任何學術論文的審稿模擬與評估。
| name | proof-writer |
| description | 數學證明撰寫技能 — 從主張提取到 LaTeX 排版的完整證明工作流。當使用者需要撰寫或驗證數學定理、引理、命題的形式證明，或需要推導公式、整理理論分析時，一定要使用此技能。觸發詞包括：數學證明、prove、theorem、lemma、proposition、推導、理論分析、寫 proof、LaTeX 數學、formal proof。適用於機器學習理論、統計學習理論、最佳化等需要嚴謹數學推導的場景。 |
| license | MIT |
| compatibility | Works with Claude Code, ChatGPT/Codex CLI, and Gemini CLI. |
| metadata | {"author":"weed","version":"1.0.0"} |
本技能專注於學術論文中的數學證明撰寫。涵蓋從主張提取、策略選擇到完整 LaTeX 排版的端對端工作流程。所有解釋使用繁體中文，數學表達式與 LaTeX 代碼使用英文。
證明撰寫分為五個階段，依序執行：
主張提取 → 文獻掃描 → 策略選擇 → 逐步推導 → LaTeX 排版
每個階段有明確的輸入、輸出與品質檢查點。以下逐一說明。
從論文草稿或用戶輸入中，精確提取需要證明的數學主張。主張必須是形式化的命題， 具備明確的前提條件與結論。
主張類型：[Theorem | Lemma | Corollary | Proposition | Claim]
前提條件：
- 條件 1
- 條件 2
- ...
結論：[形式化的數學陳述]
相關符號：[符號清單及定義]
查找與主張相關的已知定理、引理和結果，為證明建立基礎。這一步決定了我們可以 「站在哪些巨人的肩膀上」。
相關定理：
1. [定理名稱] — [簡述] — 相關度：[高|中|低]
2. ...
可直接引用：[定理列表]
需要修改後使用：[定理列表及修改方向]
證明缺口：[需要自行推導的部分]
根據主張的結構和可用的已知結果，選擇最合適的證明策略。策略的選擇直接影響 證明的清晰度和長度。
本技能支援以下八種證明策略，每種策略的詳細說明見 證明策略參考。
從前提條件出發，通過一系列邏輯推導直接到達結論。適用於結構清晰、推導路徑 明確的主張。
適用場景：等式證明、不等式推導、集合包含關係。
假設結論不成立，推導出矛盾。適用於直接證明困難或結論為否定形式的主張。
適用場景：存在性的否定、唯一性證明、不可能性結果。
對自然數或可良序化的結構進行歸納。包括弱歸納、強歸納和結構歸納。
適用場景：遞迴結構、序列性質、離散數學中的命題。
明確構造出滿足條件的對象，從而證明存在性。比純存在性證明提供更多資訊。
適用場景：存在性命題、算法正確性、具體界的建立。
將要證明的問題歸約為已知的問題。常用於計算複雜度和決策問題。
適用場景：NP-hardness 證明、下界證明、等價性證明。
通過證明隨機選擇滿足條件的機率大於零，從而證明滿足條件的對象存在。
適用場景：組合數學、圖論、隨機化算法分析。
利用凸函數或凸集的性質進行推導。在最佳化和機器學習理論中尤其常見。
適用場景：最佳化問題、Jensen's inequality 的應用、凸鬆弛。
使用熵、互資訊、KL 散度等資訊論工具進行推導。
適用場景：通訊理論、學習理論下界、隱私分析。
主張結構分析
├─ 等式或不等式？
│ ├─ 是 → 考慮直接證明、凸性論證
│ └─ 否 → 繼續
├─ 存在性命題？
│ ├─ 是 → 考慮構造性證明、機率法
│ └─ 否 → 繼續
├─ 涉及遞迴或序列？
│ ├─ 是 → 考慮數學歸納法
│ └─ 否 → 繼續
├─ 可歸約為已知問題？
│ ├─ 是 → 考慮歸約法
│ └─ 否 → 繼續
├─ 涉及資訊量度？
│ ├─ 是 → 考慮資訊論方法
│ └─ 否 → 繼續
└─ 直接證明困難？
├─ 是 → 考慮反證法
└─ 否 → 使用直接證明
許多複雜的證明需要組合多種策略。常見的組合包括：
選擇策略：[主要策略名稱]
輔助策略：[如有]
選擇理由：[為什麼這個策略最適合]
預期證明結構：[大綱]
預期難度：[低|中|高]
根據選定的策略，撰寫完整、嚴謹的證明過程。每一步都必須有明確的邏輯依據。
每一步推導應包含：
在步驟之間使用適當的過渡語句，引導讀者理解證明的邏輯流程：
將證明轉換為可直接插入論文的 LaTeX 代碼。排版應符合學術論文的標準格式。
詳細的 LaTeX 排版模式見 LaTeX 數學排版參考。
\begin{theorem}[Theorem Name]
\label{thm:theorem-label}
Statement of the theorem.
\end{theorem}
\begin{proof}
Proof content here. \qed
\end{proof}
\label。\ref 或 \eqref 進行交叉引用。equation 或 align 環境。$...$。\[...\] 或有編號的環境。align 環境。cases 環境。最終輸出應包含：
amsthm, amsmath 等）\newcommand 定義輸入：證明對所有 $x > 0$，有 $e^x \geq 1 + x$。
第一階段輸出：
主張類型：Proposition
前提條件：
- x > 0, x ∈ ℝ
結論：e^x ≥ 1 + x
相關符號：e 為自然對數的底
第三階段輸出：
選擇策略：直接證明
選擇理由：可通過分析 f(x) = e^x - 1 - x 的性質直接推導
預期證明結構：
1. 定義 f(x) = e^x - 1 - x
2. 計算 f'(x) = e^x - 1
3. 分析 f 的單調性
4. 利用 f(0) = 0 得出結論
預期難度：低
第五階段輸出：
\begin{proposition}
\label{prop:exp-lower-bound}
For all $x > 0$, we have $e^x \geq 1 + x$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Define $f(x) = e^x - 1 - x$. We have $f(0) = 0$ and
$f'(x) = e^x - 1 > 0$ for all $x > 0$. Therefore, $f$ is
strictly increasing on $(0, \infty)$, which implies
$f(x) > f(0) = 0$ for all $x > 0$. That is, $e^x > 1 + x$.
\qed
\end{proof}
輸入：證明 PAC learning 框架下，有限假設類的樣本複雜度上界。
第一階段輸出：
主張類型：Theorem
前提條件：
- H 為有限假設類，|H| < ∞
- 樣本 S 由分布 D 上的 m 個 i.i.d. 樣本組成
- ε > 0, δ > 0
結論：若 m ≥ (1/ε)(ln|H| + ln(1/δ))，則以機率至少 1-δ，
對所有 h ∈ H 有 |R(h) - R̂(h)| ≤ ε
相關符號：R(h) 為真實風險，R̂(h) 為經驗風險
第三階段輸出：
選擇策略：直接證明 + 機率法
輔助策略：歸約到 Hoeffding's inequality
選擇理由：經典的 union bound + concentration inequality 組合
預期證明結構：
1. 對單一假設 h 應用 Hoeffding's inequality
2. 對所有假設取 union bound
3. 解出 m 的下界
預期難度：中
用戶提供主張，系統執行完整的五階段流程，輸出可直接使用的 LaTeX 代碼。
用戶提供有問題的證明，系統診斷問題所在並修復。常見問題包括：
將非形式化的直覺論證轉換為嚴謹的數學證明。
用戶描述要證明的目標，系統建議可能的證明策略和思路，但不撰寫完整證明。