stem-mecanica-solidos

name	stem-mecanica-solidos
description	Mecánica de sólidos: esfuerzos y deformaciones, círculo de Mohr, vigas (flechas, cortante, momento), columnas, torsión y teoría de la elasticidad.

Mecánica de Sólidos

Referencias de autoridad

• Beer & Johnston: Mechanics of Materials, 7ª edición, McGraw-Hill
• Hibbeler: Mechanics of Materials, 10ª edición, Pearson
• Timoshenko: Strength of Materials, 3ª edición, Krieger

Esfuerzos y deformaciones

Esfuerzo normal

• σ = F/A (Pa = N/m²)
• σ > 0: tracción. σ < 0: compresión
• Esfuerzo promedio en sección transversal

Esfuerzo cortante

• τ = V/A (Pa)
• Distribución no uniforme: τ = VQ/(It) para secciones rectangulares

Deformación normal

• ε = ΔL/L₀ (adimensional)
• ε > 0: elongación. ε < 0: contracción

Ley de Hooke

• σ = E·ε (zona elástica)
• E = módulo de Young (Pa)
• Relación de Poisson: ν = -ε_transversal/ε_longitudinal
  • ν ≈ 0,3 para metales, 0,33 para acero

Esfuerzo cortante en torsión

• τ = T·r/J
• T = torque (N·m)
• r = radio (m)
• J = momento polar de inercia (m⁴)
• Sección circular maciza: J = πd⁴/32
• Sección circular hueca: J = π(dₒ⁴ - dᵢ⁴)/32

Ángulo de giro en torsión

• φ = TL/(JG)
• G = módulo de cortante (Pa)
• G = E/(2(1+ν))

Vigas

Relación entre cargas, cortante y momento

• dV/dx = -w(x) (carga distribuida)
• dM/dx = V(x) (cortante)
• d²M/dx² = -w(x)

Esfuerzo en vigas

• Esfuerzo normal por flexión: σ = -M·y/I

  • M = momento flector (N·m)
  • y = distancia al eje neutro (m)
  • I = momento de inercia (m⁴)
  • σ_max = M·c/I = M/S (S = módulo de sección)

• Esfuerzo cortante: τ = V·Q/(I·t)

  • Q = ∫_A'y dA = primer momento de área
  • t = espesor en el punto

Momentos de inercia notables

• Rectángulo (base b, altura h): I_x = bh³/12, I_y = hb³/12
• Círculo: I = πd⁴/64
• Círculo hueco: I = π(dₒ⁴ - dᵢ⁴)/64
• Teorema de ejes paralelos: I = I_c + Ad²

Flechas de vigas

Método de integración directa

• EI·d⁴y/dx⁴ = -w(x)
• EI·d³y/dx³ = V(x)
• EI·d²y/dx² = M(x)
• EI·dy/dx = θ(x) (rotación)
• EI·y = δ(x) (flecha)

Método de la función de singularidad (Macaulay)

• Usar funciones de Macaulay ⟨x-a⟩ⁿ
• ⟨x-a⟩ⁿ = 0 si x < a, (x-a)ⁿ si x ≥ a

Formulas de flechas (casos típicos)

• Viga simplemente apoyada, carga P en el centro: δ_max = PL³/(48EI)
• Viga empotrada-libre, carga P en el extremo: δ_max = PL³/(3EI)
• Viga simplemente apoyada, carga distribuida w: δ_max = 5wL⁴/(384EI)
• Viga empotrada-libre, carga distribuida w: δ_max = wL⁴/(8EI)

Teoremas de área-momento

• Primer teorema: cambio de ángulo entre A y B = área del diagrama M/EI entre A y B
• Segundo teorema: desviación tangencial de B respecto a la tangente en A = momento del área del diagrama M/EI entre A y B respecto a B

Círculo de Mohr

Esfuerzo plano

• σ_x, σ_y, τ_xy
• Esfuerzos principales:
  • σ₁,₂ = (σ_x + σ_y)/2 ± √[((σ_x - σ_y)/2)² + τ_xy²]
• Esfuerzo cortante máximo: τ_max = √[((σ_x - σ_y)/2)² + τ_xy²]
• Ángulo de planos principales: tan(2θ_p) = 2τ_xy/(σ_x - σ_y)
• Ángulo de cortante máximo: tan(2θ_s) = -(σ_x - σ_y)/(2τ_xy)

Círculo de Mohr (trazado)

• Centro: C = ((σ_x + σ_y)/2, 0)
• Radio: R = √[((σ_x - σ_y)/2)² + τ_xy²]
• Puntos: A(σ_x, -τ_xy), B(σ_y, τ_xy)
• Esfuerzos principales: σ₁ = C + R, σ₂ = C - R
• Cortante máximo: τ_max = R

Criterios de fallo

Esfuerzo cortante máximo (Tresca)

• τ_max = (σ₁ - σ₃)/2 ≤ σ_y/2·FS
• FS = factor de seguridad

Esfuerzo distorsional (Von Mises)

• σ_vm = √[((σ₁ - σ₂)² + (σ₂ - σ₃)² + (σ₃ - σ₁)²)/2] ≤ σ_y/FS
• Para esfuerzo plano (σ₃ = 0): σ_vm = √(σ₁² - σ₁σ₂ + σ₂²)

Columnas

Esfuerzo crítico de Euler

• P_cr = π²EI/(KL)²
• K = factor de extremo:
  • Empotrado-libre: K = 2
  • Articulado-articulado: K = 1
  • Empotrado-articulado: K = 0,7
  • Empotrado-empotrado: K = 0,5
• Longitud efectiva: L_e = KL
• Esbeltez: λ = L_e/r (r = radio de giro = √(I/A))

Fórmula de secante

• σ_max = (P/A)[1 + (ec/r²)·sec(π/2·√(P/P_cr))]
• e = excentricidad, c = distancia al borde

Columnas cortas vs esbeltas

• Corta: λ < λ_c → fallo por fluencia
• Esbelta: λ > λ_c → fallo por pandeo
• λ_c = √(2π²E/σ_y)

Errores comunes / Pitfalls

• Esfuerzo cortante en vigas: τ_max está en el eje neutro, NO en la fibra extrema
• Círculo de Mohr: τ_xy se toma negativo en el punto A (convención: cortante que gira en sentido horario es negativo)
• Flechas: verificar la condición de apoyo. Viga empotrada-libre tiene 16× más flecha que simplemente apoyada con la misma carga
• Columnas: usar K correcto según condiciones de extremo. K = 2 (empotrado-libre) es el más desfavorable
• Von Mises: para esfuerzo plano, σ₃ = 0. No olvidar esto

Verificación

• Hooke: σ = Eε. Verificar unidades: [Pa] = [Pa]·[adimensional] ✓
• Torsión: τ = Tr/J. Verificar: [N·m]·[m]/[m⁴] = [N/m²] ✓
• Flecha viga centro: δ = PL³/(48EI). Verificar: [N]·[m³]/([N/m²]·[m⁴]) = [m] ✓
• Euler: P_cr = π²EI/(KL)². Verificar: [N/m²]·[m⁴]/[m²] = [N] ✓
• Mohr: σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃. τ_max = (σ₁ - σ₃)/2