math-estadistica-probabilidad

name	math-estadistica-probabilidad
description	Estadística descriptiva e inferencial: media, varianza, desviación, distribución normal, intervalos de confianza, test de hipótesis, Bayes y regresión lineal.

Estadística y Probabilidad

Estadística descriptiva

Medidas de tendencia central

• Media: x̄ = Σxᵢ/n
• Mediana: valor central (ordenar datos). Si n par: promedio de dos centrales
• Moda: valor más frecuente
• Media ponderada: x̄ = Σ(wᵢ · xᵢ) / Σwᵢ

Medidas de dispersión

• Rango: máximo - mínimo
• Varianza muestral: s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
• Varianza poblacional: σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
• Desviación típica: s = √s², σ = √σ²
• Coeficiente de variación: CV = s/x̄ (sin unidades)

Cuartiles y percentiles

• Q1 (25° percentil), Q2 = mediana, Q3 (75° percentil)
• Rango intercuartílico: IQR = Q3 - Q1
• Valores atípicos: x < Q1 - 1,5·IQR o x > Q3 + 1,5·IQR

Probabilidad

Conceptos básicos

• P(A): probabilidad de A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Si A, B independientes: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
• P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (probabilidad condicionada)
• P(A) + P(Aᶜ) = 1

Teorema de Bayes

P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B) P(A|B) = P(B|A) · P(A) / [P(B|A) · P(A) + P(B|Aᶜ) · P(Aᶜ)]

Conteo

• Permutaciones: P(n,r) = n! / (n-r)!
• Combinaciones: C(n,r) = n! / (r! · (n-r)!)
• Principio multiplicativo: si hay m opciones para A y n para B: m·n combinaciones

Distribuciones de probabilidad

Distribución binomial

• X ~ B(n, p)
• P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)^(n-k)
• E[X] = np, Var(X) = np(1-p)
• Usar cuando: n ensayos independientes, 2 resultados, p constante

Distribución normal

• X ~ N(μ, σ²)
• f(x) = (1/(σ√(2π))) · e^(-(x-μ)²/(2σ²))
• Normal estándar: Z ~ N(0, 1)
• Regla empírica: 68% en [μ-σ, μ+σ], 95% en [μ-2σ, μ+2σ], 99,7% en [μ-3σ, μ+3σ]
• Estandarización: Z = (X - μ) / σ

Distribución t de Student

• Similar a normal pero con colas más pesadas
• Grados de libertad: df = n - 1 (para una muestra)
• Usar cuando: σ desconocido, n pequeño (< 30)

Distribución χ² (Chi-cuadrado)

• df = n - 1 (para varianza)
• Usar en test de varianza y bondad de ajuste

Inferencia estadística

Intervalo de confianza para la media

• σ conocida: x̄ ± z_(α/2) · σ/√n
• σ desconocida: x̄ ± t_(α/2, n-1) · s/√n
• n grande (≥30): x̄ ± z_(α/2) · s/√n (aproximación)

Intervalo de confianza para la proporción

• p̂ ± z_(α/2) · √(p̂(1-p̂)/n)

Test de hipótesis

• Hipótesis nula (H₀): la que se quiere refutar
• Hipótesis alternativa (H₁): lo que se quiere demostrar
• Error tipo I (α): rechazar H₀ siendo cierta
• Error tipo II (β): no rechazar H₀ siendo falsa
• p-value: probabilidad de obtener un resultado tan extremo si H₀ es cierta
• Si p-value < α: rechazar H₀
• Z-test: σ conocida o n ≥ 30
• T-test: σ desconocida y n < 30

Test Z para la media

• Z = (x̄ - μ₀) / (σ/√n)

Test T para la media

• t = (x̄ - μ₀) / (s/√n) con df = n-1

Regresión lineal

Recta de regresión

• y = a + bx
• b = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / Σ(xᵢ - x̄)²
• a = ȳ - b·x̄

Coeficiente de correlación (Pearson)

• r = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / √[Σ(xᵢ - x̄)² · Σ(yᵢ - ȳ)²]
• -1 ≤ r ≤ 1
• r = 1: correlación perfecta positiva
• r = -1: correlación perfecta negativa
• r = 0: sin correlación lineal

Coeficiente de determinación

• R² = r²: proporción de varianza explicada

Errores comunes / Pitfalls

• Varianza muestral: dividir por (n-1), NO por n (corrección de Bessel)
• p-value: NO es P(H₀ es cierta). Es P(datos | H₀)
• Correlación ≠ causalidad: r alto no implica que una variable cause la otra
• Normalidad: test Z solo si σ conocida o n grande. Si no, usar t
• Bayes: confundir P(A|B) con P(B|A). Son distintas
• Binomial: verificar independencia y p constante
• Intervalo de confianza: no interpretar como "P(μ está en el IC) = 95%". Interpretación correcta: si repitiéramos el experimento muchas veces, el 95% de los IC contendrían μ

Verificación

• Probabilidades: ¿están entre 0 y 1? ¿P(A) + P(Aᶜ) = 1?
• Media muestral: ¿entre el mínimo y el máximo?
• Varianza: siempre ≥ 0
• Correlación: -1 ≤ r ≤ 1
• p-value: < 1 (si es > 1, algo va mal)
• Regresión: verificar y̅ = a + b·x̄