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description	Ecuaciones diferenciales ordinarias (separable, lineal 1º orden, coeficientes indeterminados, variación de parámetros), análisis complejo básico (funciones holomorfas, serie de Fourier), álgebra lineal avanzada (autovalores, diagonalización, SVD conceptual), topología básica. Nivel: licenciatura/máster.

Matemáticas Expertas — EDOs, Análisis Complejo, Álgebra Lineal Avanzada y Topología

Referencias de autoridad

• William E. Boyce & Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Wiley
• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer (3ª ed.)
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (Baby Rudin), McGraw-Hill
• Lars Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill

Contenido clave

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

• EDO de primer orden separable: dy/dx = g(x)·h(y)
  • Solución: ∫ dy/h(y) = ∫ g(x) dx + C
• EDO de primer orden lineal: dy/dx + P(x)y = Q(x)
  • Factor integrante: μ(x) = e^(∫P(x)dx)
  • Solución: y(x) = (1/μ(x)) · [∫ μ(x)·Q(x) dx + C]
• EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes:
  • ay'' + by' + cy = 0
  • Ecuación característica: ar² + br + c = 0
  • Raíces reales distintas r₁ ≠ r₂: y = C₁·e^(r₁x) + C₂·e^(r₂x)
  • Raíces dobles r: y = (C₁ + C₂x)·e^(rx)
  • Raíces complejas α ± βi: y = e^(αx)·(C₁·cos(βx) + C₂·sin(βx))
• Coeficientes indeterminados (parte no homogénea):
  • ay'' + by' + cy = g(x)
  • Solución: y = y_h + y_p (homogénea + particular)
  • Para g(x) = P_n(x)·e^(αx): probar y_p = x^s·Q_n(x)·e^(αx) (s = multiplicidad de α como raíz)
  • Para g(x) = e^(αx)·(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)): probar forma similar con coeficientes indeterminados
• Variación de parámetros:
  • Para y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)
  • y_p = u₁(x)·y₁ + u₂(x)·y₂
  • u₁' = -y₂·g/W, u₂' = y₁·g/W
  • Wronskiano: W(y₁, y₂) = y₁y₂' - y₁'y₂
• Sistemas de EDOs lineales:
  • x' = Ax → solución por autovalores: x = Σ C_i · v_i · e^(λ_i·t)
  • Si A tiene autovalores complejos λ = α ± βi con autovectores complejos, la solución real combina e^(αt)cos(βt) y e^(αt)sin(βt)

Análisis complejo

• Función holomorfa: f: ℂ → ℂ es holomorfa en z₀ si f'(z₀) existe.
  • Condiciones de Cauchy-Riemann: ∂u/∂x = ∂v/∂y y ∂u/∂y = -∂v/∂x, donde f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
  • Si se cumplen en un abierto y las derivadas parciales son continuas, f es holomorfa.
• Funciones elementales complejas:
  • e^(z) = e^(x+iy) = e^x·(cos(y) + i·sin(y)) = e^x·e^(iy)
  • log(z) = ln|z| + i·arg(z) (multivaluada; rama principal: Arg(z) ∈ (-π, π])
  • z^α = e^(α·log(z)) (multivaluada si α no es entero)
• Serie de Fourier:
  • f(x) = a₀/2 + Σ_{n=1}^{∞} [a_n·cos(nωx) + b_n·sin(nωx)], ω = 2π/T
  • a_n = (2/T) ∫_0^T f(x)·cos(nωx) dx
  • b_n = (2/T) ∫_0^T f(x)·sin(nωx) dx
  • Forma compleja: f(x) = Σ_{n=-∞}^{∞} c_n · e^(inωx), c_n = (1/T) ∫_0^T f(x)·e^(-inωx) dx
  • Teorema de Dirichlet: converge a f(x) si f es a trozos suave

Álgebra lineal avanzada

• Autovalores y autovectores: Av = λv, v ≠ 0
  • λ es autovalor, v es autovector asociado
  • Polinomio característico: det(A - λI) = 0
  • Trace(A) = Σ λ_i = Σ a_ii; det(A) = Π λ_i
• Diagonalización: A = PDP^(-1) donde D es diagonal de autovalores y P tiene autovectores como columnas.
  • A es diagonalizable si y solo si tiene n autovectores linealmente independientes.
  • Cada autovalor con multiplicidad algebraica m debe tener multiplicidad geométrica m.
• Espacios con producto interno:
  • ⟨u, v⟩ = Σ u_i · v_i (producto escalar estándar)
  • Desigualdad de Cauchy-Schwarz: |⟨u, v⟩| ≤ |u| · |v|
  • Desigualdad triangular: |u + v| ≤ |u| + |v|
  • Ortogonalidad: ⟨u, v⟩ = 0
• Proceso de Gram-Schmidt: ortonormalizar un conjunto {v₁, ..., v_n}:
  • u₁ = v₁; e₁ = u₁/|u₁|
  • u_k = v_k - Σ_{j=1}^{k-1} ⟨v_k, e_j⟩·e_j; e_k = u_k/|u_k|
• Descomposición SVD (conceptual):
  • A = UΣV^T, donde U y V son ortogonales, Σ es diagonal con valores singulares σ_i ≥ 0
  • σ_i = √(λ_i(A^T A))
  • Rango(A) = número de valores singulares no nulos
  • Aplicaciones: compresión de datos, mínimos cuadrados, pseudo-inversa

Topología básica

• Espacio métrico: (X, d) donde d: X × X → ℝ cumple: d(x,y) ≥ 0, d(x,y) = 0 ⟺ x = y, d(x,y) = d(y,x), d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)
• Entorno abierto: B_r(x) = {y ∈ X : d(x,y) < r} (bola abierta)
• Conjunto abierto: A ⊆ X es abierto si ∀x ∈ A, ∃r > 0 tal que B_r(x) ⊆ A
• Conjunto cerrado: A es cerrado si su complementario X\A es abierto
• Punto de acumulación: x es punto de acumulación de A si toda bola B_r(x) contiene un punto de A distinto de x
• Clausura: cl(A) = A ∪ A' (A union de sus puntos de acumulación)
• Compacto (en ℝ^n): cerrado y acotado (teorema de Heine-Borel)
  • Toda cubierta abierta tiene subcubierta finita
  • Toda sucesión tiene subsucesión convergente (Bolzano-Weierstrass)
• Conexo: X es conexo si no se puede escribir como unión de dos abiertos disjuntos no vacíos
• Teorema de Bolzano: si f es continua en [a,b] y f(a)·f(b) < 0, ∃c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0

Unidades y sistema SI

• No aplica directamente (matemáticas puras abstractas)

Errores comunes / Pitfalls

• Condiciones de existencia en EDOs: el teorema de existencia y unicidad (Picard-Lindelöf) requiere que f(x,y) y ∂f/∂y sean continuas en una región. Si no se cumplen, puede haber múltiples soluciones o ninguna.
• Interpretación geométrica de autovalores: λ > 0 implica expansión en dirección de v; λ < 0 implica inversión + expansión; |λ| < 1 implica contracción.
• Hipótesis de teoremas: el teorema espectral requiere que A sea simétrica (autoadjunta). No toda matriz es diagonalizable.
• Función logaritmo compleja: es multivaluada. log(z) = ln|z| + i(Arg(z) + 2πk). La rama principal fija k = 0.
• Convergencia de Fourier: la serie de Fourier puede no converger puntualmente a f(x) en discontinuidades (converge al promedio de límites laterales).
• SVD vs diagonalización: SVD existe para toda matriz (rectangular o no). La diagonalización solo para matrices cuadradas con n autovectores LI.

Verificación

• EDO: sustituir la solución en la ecuación original y verificar que se cumple
• Wronskiano: W ≠ 0 ⟺ soluciones linealmente independientes
• Autovalores: verificar Av = λv para cada par (λ, v)
• Diagonalización: verificar A = PDP^(-1) multiplicando
• Cauchy-Riemann: verificar ∂u/∂x = ∂v/∂y y ∂u/∂y = -∂v/∂x
• SVD: verificar que U y V son ortogonales (U^T U = I) y Σ tiene σ_i ≥ 0
• Topología: verificar que un conjunto compacto en ℝ es cerrado y acotado