physics-advanced

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description	Relatividad especial (Lorentz, dilatación tiempo, contracción longitud, E=mc²), mecánica cuántica básica (Schrödinger, pozo infinito, átomo de Bohr), física estadística (Maxwell-Boltzmann, entropía estadística), electromagnetismo avanzado (ecuaciones de Maxwell). Nivel: pregrado.

Física Avanzada — Relatividad, Cuántica, Estadística y Electromagnetismo

Referencias de autoridad

• David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press (4ª ed.)
• David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Cambridge University Press (2ª ed.)
• Taylor, Zafiratos & Dubson, Modern Classical Physics, Princeton University Press
• Enrico Fermi, Thermodynamics, Dover Publications

Contenido clave

Relatividad especial

• Postulados de Einstein (1905):
  1. Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas inerciales
  2. La velocidad de la luz en el vacío es c = 299 792 458 m/s en todos los sistemas inerciales
• Factor de Lorentz: γ = 1/√(1 - v²/c²) = 1/√(1 - β²), donde β = v/c
  • γ ≥ 1. γ → ∞ cuando v → c
• Transformaciones de Lorentz:
  • t' = γ(t - vx/c²)
  • x' = γ(x - vt)
  • y' = y, z' = z
• Dilatación del tiempo: Δt = γ·Δτ
  • Δτ = tiempo propio (medido en el marco donde los eventos ocurren en el mismo lugar)
  • Δt > Δτ: el tiempo "se dilata" en el marco en movimiento relativo
• Contracción de longitud: L = L₀/γ
  • L₀ = longitud propia (medida en el marco en reposo del objeto)
  • L < L₀: el objeto se "contrae" en la dirección del movimiento
• Energía y momento relativistas:
  • E = γ·m₀·c² (energía total)
  • E₀ = m₀·c² (energía en reposo)
  • p = γ·m₀·v (momento relativista)
  • Relación: E² = (pc)² + (m₀c²)²
  • Para fotón (m₀ = 0): E = pc = h·f = hc/λ
• Composición de velocidades:
  • u = (u' + v)/(1 + u'v/c²) (en la misma dirección)
  • Nunca se supera c

Mecánica cuántica básica

• Dualidad onda-partícula:
  • De Broglie: λ = h/p = h/(mv) (longitud de onda asociada a partícula material)
  • h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s (constante de Planck)
  • ħ = h/(2π) = 1.055 × 10⁻³⁴ J·s (constante de Planck reducida)
• Principio de incertidumbre de Heisenberg:
  • Δx·Δp ≥ ħ/2
  • ΔE·Δt ≥ ħ/2
• Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:
  • iħ · ∂Ψ/∂t = Ĥ·Ψ
  • Ĥ = - (ħ²/2m)·∇² + V(x,t) (hamiltoniano)
• Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
  • Ĥ·ψ = E·ψ → - (ħ²/2m)·d²ψ/dx² + V(x)·ψ = E·ψ
  • |Ψ(x,t)|² = |ψ(x)|² · |φ(t)|² = |ψ(x)|² (densidad de probabilidad)
  • Normalización: ∫|ψ(x)|² dx = 1 (sobre todo el espacio)
• Pozo de potencial infinito 1D:
  • V(x) = 0 para 0 < x < L; V(x) = ∞ fuera
  • ψ_n(x) = √(2/L)·sin(nπx/L), n = 1, 2, 3, ...
  • E_n = n²·h²/(8mL²) = n²·π²·ħ²/(2mL²)
  • Niveles cuantizados: E_n ∝ n²
• Átomo de Bohr:
  • Radios permitidos: r_n = n²·a₀, a₀ = 0.529 Å (radio de Bohr)
  • Energías: E_n = -13.6 eV/n² (para H)
  • Emissiones: ΔE = E_i - E_f = h·f
  • Serie de Lyman (n→1, UV), Balmer (n→2, visible), Paschen (n→3, IR)
• Números cuánticos del átomo de H:
  • n = 1, 2, 3, ... (principal)
  • l = 0, 1, ..., n-1 (momento angular orbital)
  • m_l = -l, ..., 0, ..., +l (proyección del momento angular)
  • m_s = ±½ (espín)

Física estadística

• Distribución de Maxwell-Boltzmann (velocidades):
  • f(v) = 4π·(m/(2πk_BT))^(3/2) · v² · e^(-mv²/(2k_BT))
  • v_mp (más probable) = √(2k_BT/m)
  • v_promedio = √(8k_BT/(πm))
  • v_rms = √(3k_BT/m)
• Energía térmica por grado de libertad: ½·k_BT (teorema de equipartición)
  • Gas monoatómico: E = (3/2)·N·k_BT = (3/2)·n·R·T
  • Gas diatómico (a T ambiente): E = (5/2)·n·R·T
• Entropía estadística (Boltzmann):
  • S = k_B · ln(Ω)
  • Ω = número de microestados compatibles con un macroestado dado
  • k_B = 1.381 × 10⁻²³ J/K (constante de Boltzmann)
• Distribución de Boltzmann: P(E_i) ∝ e^(-E_i/(k_BT))
• Función de partición: Z = Σ_i e^(-E_i/(k_BT))
  • F = -k_BT·ln(Z) (energía libre de Helmholtz)

Ecuaciones de Maxwell (electromagnetismo avanzado)

• Ley de Gauss (eléctrica): ∮ E⃗ · dA⃗ = Q_enc/ε₀
  • Forma diferencial: ∇·E⃗ = ρ/ε₀
• Ley de Gauss (magnética): ∮ B⃗ · dA⃗ = 0
  • Forma diferencial: ∇·B⃗ = 0 (no existen monopolos magnéticos)
• Ley de Faraday: ∮ E⃗ · dl⃗ = -dΦ_B/dt
  • Forma diferencial: ∇×E⃗ = -∂B⃗/∂t
• Ley de Ampère-Maxwell: ∮ B⃗ · dl⃗ = μ₀I_enc + μ₀ε₀·dΦ_E/dt
  • Forma diferencial: ∇×B⃗ = μ₀J⃗ + μ₀ε₀·∂E⃗/∂t
  • μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A (permeabilidad del vacío)
  • Término de corriente de desplazamiento: μ₀ε₀·∂E⃗/∂t (Maxwell)
• Velocidad de la luz: c = 1/√(μ₀ε₀) ≈ 3 × 10⁸ m/s
• Ondas EM:
  • E⃗ y B⃗ perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación
  • E = c·B
  • Vector de Poynting: S⃗ = (1/μ₀)·E⃗ × B⃗ (flujo de energía)
  • Intensidad: I = ⟨S⟩ = (1/2)·ε₀·c·E₀²

Unidades y sistema SI

• Velocidad de la luz: c = 2.998 × 10⁸ m/s
• Constante de Planck: h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s
• Constante reducida: ħ = 1.055 × 10⁻³⁴ J·s
• Constante de Boltzmann: k_B = 1.381 × 10⁻²³ J/K
• Radio de Bohr: a₀ = 5.292 × 10⁻¹¹ m = 0.529 Å
• 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J
• Permitividad del vacío: ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² F/m
• Permeabilidad del vacío: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H/m

Errores comunes / Pitfalls

• Confusión de marcos de referencia en relatividad: el tiempo propio Δτ se mide SIEMPRE en el marco donde los eventos ocurren en el mismo lugar. No confundir Δt con Δτ.
• Interpretación probabilística de la función de onda: |Ψ|² es densidad de probabilidad, NO probabilidad directa. La probabilidad en un volumen es ∫|Ψ|² dV.
• Forma correcta de ecuaciones de Maxwell: el término de desplazamiento (μ₀ε₀·∂E/∂t) es crucial para la existencia de ondas EM. Sin él, no hay consistencia con la conservación de carga.
• Niveles de energía del pozo infinito: E_n ∝ n², NO ∝ n. El nivel n=2 tiene energía 4 veces el n=1, no 2 veces.
• Energía del átomo de Bohr: E_n = -13.6 eV/n². El signo negativo indica estado ligado. E = 0 corresponde a ionización.

Verificación

• Relatividad: verificar que γ → ∞ cuando v → c (velocidad de la luz como límite)
• Schrödinger: verificar que ψ_n satisface la ecuación con V(x) dado
• Normalización: verificar ∫|ψ|² dx = 1 sobre todo el dominio
• Maxwell: verificar que ∇·(∇×B⃗) = 0 siempre (identidad vectorial)
• Maxwell-Boltzmann: verificar que ∫f(v)dv = 1 (distribución normalizada)
• Energía relativista: verificar E² = (pc)² + (m₀c²)² con unidades consistentes
• Incertidumbre: verificar Δx·Δp ≥ ħ/2 con unidades: m × kg·m/s = J·s = ħ