math-intermediate

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description	Funciones (lineal, cuadrática, exponencial, logarítmica, trigonométrica), identidades trigonométricas, logaritmos, matrices básicas, vectores en R2/R3, sucesiones.
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Matemáticas Intermedias

Referencias de autoridad

• Khan Academy — Precalculus (khanacademy.org/math/precalculus)
• Stewart, J. — Precalculus: Mathematics for Calculus, Cengage Learning
• Stewart, J. — Calculus (8th ed.), Cengage Learning (capítulos previos)
• Lay, D. — Linear Algebra and Its Applications, Pearson

Contenido clave

Funciones elementales

• Función lineal: f(x) = mx + b. Pendiente m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Recta horizontal si m = 0, vertical si x = constante (no es función).
• Función cuadrática: f(x) = ax² + bx + c. Parábola. Si a > 0, abre arriba. Si a < 0, abre abajo. Vértice: xᵥ = -b/(2a).
• Función exponencial: f(x) = a · bˣ (b > 0, b ≠ 1). Creciente si b > 1, decreciente si 0 < b < 1. Dominio: ℝ, Imagen: (0, ∞) si a > 0.
• Función logarítmica: f(x) = log_b(x) (b > 0, b ≠ 1, x > 0). Inversa de la exponencial. Dominio: (0, ∞), Imagen: ℝ.
• Función logaritmo natural: ln(x) = logₑ(x), e ≈ 2.71828. Base del logaritmo natural.
• Función trigonométrica: sin(x), cos(x), tan(x) = sin(x)/cos(x). Periodo de sin y cos: 2π. Periodo de tan: π.

Identidades trigonométricas fundamentales

• Pitagórica: sin²(θ) + cos²(θ) = 1
• Tangente: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
• Secante: sec²(θ) = 1 + tan²(θ)
• Cosecante: csc²(θ) = 1 + cot²(θ)
• Suma de ángulos: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
• cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
• tan(α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α tan β)
• Ángulo doble: sin(2θ) = 2 sin θ cos θ
• cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
• Semiángulo: sin²(θ/2) = (1 - cos θ)/2, cos²(θ/2) = (1 + cos θ)/2
• Linealización: sin²θ = (1 - cos 2θ)/2, cos²θ = (1 + cos 2θ)/2

Propiedades de logaritmos

• log_b(MN) = log_b(M) + log_b(N)
• log_b(M/N) = log_b(M) - log_b(N)
• log_b(Mⁿ) = n · log_b(M)
• Cambio de base: log_b(x) = ln(x)/ln(b) = log₁₀(x)/log₁₀(b)
• log_b(1) = 0, log_b(b) = 1
• ln(e) = 1, log₁₀(10) = 1
• e^(ln x) = x (x > 0), ln(eˣ) = x (x ∈ ℝ)

Matrices básicas

• Matriz m × n: m filas, n columnas. A = [aᵢⱼ]
• Suma: (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ. Misma dimensión.
• Multiplicación escalar: (kA)ᵢⱼ = k · aᵢⱼ
• Producto de matrices: (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ · bₖⱼ. A es m×n, B es n×p, resultado m×p.
• NO conmutativo: AB ≠ BA en general.
• Matriz identidad Iₙ: 1 en diagonal, 0 fuera. AI = IA = A.
• Determinante 2×2: det([a b; c d]) = ad - bc
• Determinante 3×3 (regla de Sarrus): det([a b c; d e f; g h i]) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - ahf
• Transpuesta: (Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ. (AB)ᵀ = BᵀAᵀ

Vectores en R2 y R3

• Vector: v = (v₁, v₂) en R2, v = (v₁, v₂, v₃) en R3
• Magnitud: |v| = √(v₁² + v₂²) en R2, |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²) en R3
• Producto escalar (dot product): u · v = |u||v|cos θ = u₁v₁ + u₂v₂ (+ u₃v₃ en R3)
  • u · v = 0 ⟺ u ⊥ v (ortogonales)
  • cos θ = (u · v) / (|u| · |v|)
• Producto vectorial (cross product, SOLO en R3): u × v = (u₂v₃ - u₃v₂, u₃v₁ - u₁v₃, u₁v₂ - u₂v₁)
  • |u × v| = |u||v|sin θ = área del paralelogramo
  • u × v es perpendicular a u y v
  • u × v = -(v × u) (anticomutativo)
• Producto mixto (R3): u · (v × w) = volumen del paralelepípedo
• Proyección de u sobre v: projᵥ(u) = (u · v/|v|²) · v
• Distancia entre puntos: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) en R2, √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²) en R3

Sucesiones

• Sucesión aritmética: aₙ = a₁ + (n-1)d, donde d = aₙ₊₁ - aₙ (diferencia constante)
  • Suma: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n/2[2a₁ + (n-1)d]
• Sucesión geométrica: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹, donde r = aₙ₊₁/aₙ (razón constante)
  • Suma (r ≠ 1): Sₙ = a₁(rⁿ - 1)/(r - 1) = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r)
  • Suma infinita (|r| < 1): S∞ = a₁/(1 - r)
• Sumatoria: Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2, Σₖ₌₁ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6, Σₖ₌₁ⁿ k³ = [n(n+1)/2]²

Unidades y sistema SI

• Ángulos: radianes (rad) es la unidad SI. 360° = 2π rad. 180° = π rad. 90° = π/2 rad.
• Conversión: grados × π/180 = radianes; radianes × 180/π = grados
• Funciones trigonométricas en cálculo: argumento SIEMPRE en radianes
• Matrices: sin unidades (números puros)
• Vectores: heredan unidades de la magnitud física representada

Errores comunes / Pitfalls

• Confundir logaritmo natural con base 10: ln(x) ≠ log₁₀(x). ln(10) ≈ 2.303, log₁₀(e) ≈ 0.434.
• Identidad trig no cuadrada: sin(α + β) ≠ sin α + sin β. La función seno NO es aditiva.
• Producto escalar vs vectorial: el escalar da un número (u · v), el vectorial da un vector (u × v). Solo existe el vectorial en R3.
• Determinante 3×3: recordar los 3 términos positivos (aei, bfg, cdh) y 3 negativos (ceg, bdi, ahf). Un error de signo cambia todo.
• Producto de matrices: verificar dimensiones. A(m×n) · B(n×p) = C(m×p). El número interno debe coincidir.
• Suma infinita geométrica: solo converge si |r| < 1. Si |r| ≥ 1, la suma diverge.
• Período de funciones: sin y cos tienen período 2π, tan tiene período π. sin(2x) tiene período π, no 2π.
• Dominio de logaritmo: log(x) solo definido para x > 0. log(-5) no existe en ℝ.
• Producto vectorial dirección: usar regla de la mano derecha. i × j = k, j × k = i, k × i = j.

Verificación

• Identidad trigonométrica: probar con valores concretos (θ = π/6, π/4, π/3)
• Producto escalar: verificar que u · v = |u||v|cos θ calculando por ambos métodos
• Producto vectorial: verificar que u × v es perpendicular a u (producto escalar = 0) y a v
• Matriz producto: verificar dimensión del resultado y calcular un elemento concreto a mano
• Determinante 3×3: calcular por expansión de Laplace en una fila/columna y comparar con Sarrus
• Sucesión aritmética: verificar que aₙ₊₁ - aₙ = d constante para varios n
• Sucesión geométrica: verificar que aₙ₊₁/aₙ = r constante para varios n
• Logaritmos: verificar log_b(bˣ) = x para varios valores de b y x
• Función inversa: verificar f(f⁻¹(x)) = x y f⁻¹(f(x)) = x