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description	Calculo diferencial e integral (derivadas, integrales, series de Taylor), estadistica descriptiva e inferencial basica, distribucion normal e intervalos de confianza.
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Matematicas Avanzadas

Referencias de autoridad

• Libro: Calculus de James Stewart, 8ª edicion (Editorial: Cengage Learning), ISBN: 978-1-285-74062-1
• Libro: Calculus: Early Transcendentals de James Stewart, 8ª edicion (Editorial: Cengage Learning), ISBN: 978-1-285-74155-5
• Libro: OpenStax Statistics de Barbara Illowsky, Susan Dean (Editorial: OpenStax, Rice University), ISBN: 978-1-947172-07-3 (disponible en https://openstax.org/details/books/statistics)
• Libro: Calculus de George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass (Editorial: Pearson), ISBN: 978-0-321-94733-1
• Norma ISO 80000-2:2019 — Grandezas et unidades, seccion de analisis matematico

Contenido clave

Calculo diferencial: derivadas

• Definicion de derivada: f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h.
• Tambien se escribe como df/dx o d/dx[f(x)].
• Derivada de una constante: d/dx[c] = 0.
• Derivada de xⁿ: d/dx[xⁿ] = n · xⁿ⁻¹ (regla de la potencia).
• Derivada de eˣ: d/dx[eˣ] = eˣ.
• Derivada de ln(x): d/dx[ln(x)] = 1/x, para x > 0.
• Derivada de sin(x): d/dx[sin(x)] = cos(x).
• Derivada de cos(x): d/dx[cos(x)] = −sin(x).
• Derivada de tan(x): d/dx[tan(x)] = sec²(x) = 1 + tan²(x).

Regla del producto

• d/dx[f(x) · g(x)] = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x).
• Regla del producto triple: d/dx[f · g · h] = f'gh + fg'h + fgh'.

Regla del cociente

• d/dx[f(x) / g(x)] = [f'(x) · g(x) − f(x) · g'(x)] / [g(x)]².
• Regla mnemonica: "lo de arriba por la derivada de lo de abajo, menos lo de abajo por la derivada de lo de arriba, todo entre lo de abajo al cuadrado".

Regla de la cadena

• d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x).
• Notacion: si y = f(u) y u = g(x), entonces dy/dx = dy/du · du/dx.
• Ejemplo: d/dx[sin(x²)] = cos(x²) · 2x.
• Ejemplo: d/dx[e³ˣ] = e³ˣ · 3 = 3e³ˣ.
• Ejemplo: d/dx[ln(5x)] = 1/(5x) · 5 = 1/x.

Derivadas de funciones trigonometricas compuestas

• d/dx[sin(u)] = cos(u) · u'.
• d/dx[cos(u)] = −sin(u) · u'.
• d/dx[tan(u)] = sec²(u) · u'.
• d/dx[arcsin(u)] = u' / √(1 − u²).
• d/dx[arccos(u)] = −u' / √(1 − u²).
• d/dx[arctan(u)] = u' / (1 + u²).

Derivadas de orden superior

• Segunda derivada: f''(x) = d/dx[f'(x)].
• Encaje: f⁽ⁿ⁾(x) denota la derivada n-esima.

Calculo integral: integrales basicas

• Integral indefinida (antiderivada): ∫f(x) dx = F(x) + C, donde F'(x) = f(x).
• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, para n ≠ −1.
• ∫1/x dx = ln|x| + C.
• ∫eˣ dx = eˣ + C.
• ∫aˣ dx = aˣ/ln(a) + C, para a > 0, a ≠ 1.
• ∫sin(x) dx = −cos(x) + C.
• ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
• ∫sec²(x) dx = tan(x) + C.
• ∫1/(1+x²) dx = arctan(x) + C.
• ∫1/√(1−x²) dx = arcsin(x) + C.

Metodos de integracion

Sustitucion (cambio de variable):

• ∫f(g(x)) · g'(x) dx = ∫f(u) du, donde u = g(x) y du = g'(x) dx.
• Ejemplo: ∫2x · cos(x²) dx. Sea u = x², du = 2x dx. Entonces ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.

Integracion por partes:

• ∫u dv = u · v − ∫v du.
• Estrategia LIATE para elegir u: Logaritmica, Inversa trigonometrica, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial.
• Ejemplo: ∫x · eˣ dx. Sea u = x, dv = eˣ dx. Entonces du = dx, v = eˣ. Resultado: x · eˣ − ∫eˣ dx = x · eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C.

Series de Taylor y Maclaurin

• Serie de Taylor de f(x) en torno a a: f(x) = Σₙ₌₀^∞ [f⁽ⁿ⁾(a) / n!] · (x − a)ⁿ.
• Serie de Maclaurin (Taylor en a = 0): f(x) = Σₙ₌₀^∞ [f⁽ⁿ⁾(0) / n!] · xⁿ.
• Serie de Maclaurin de eˣ: eˣ = Σₙ₌₀^∞ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
• Serie de Maclaurin de sin(x): sin(x) = Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ · x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! = x − x³/3! + x⁵/5! − ...
• Serie de Maclaurin de cos(x): cos(x) = Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ · x²ⁿ/(2n)! = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ...
• Serie de Maclaurin de ln(1 + x): ln(1 + x) = Σₙ₌₁^∞ (−1)ⁿ⁺¹ · xⁿ/n = x − x²/2 + x³/3 − ... (converge para −1 < x ≤ 1).
• Serie geometrica: 1/(1 − x) = Σₙ₌₀^∞ xⁿ = 1 + x + x² + x³ + ... (converge para |x| < 1).
• Radio de convergencia: usar la regla de la razon o la raiz para determinar el intervalo de convergencia.

Estadistica descriptiva

• Media aritmetica: x̄ = (1/n) · Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ.
• Mediana: valor central al ordenar los datos. Si n es par, promedio de los dos valores centrales.
• Moda: valor mas frecuente.
• Rango: max − min.
• Varianza muestral: s² = (1/(n − 1)) · Σᵢ₌₁ⁿ (xᵢ − x̄)².
• Varianza poblacional: σ² = (1/N) · Σᵢ₌₁ᴺ (xᵢ − μ)².
• Desviacion estandar muestral: s = √s².
• Desviacion estandar poblacional: σ = √σ².
• Coeficiente de variacion: CV = (s / x̄) · 100%.
• Cuartiles: Q1 (primer cuartil, 25%), Q2 (mediana, 50%), Q3 (tercer cuartil, 75%).
• Rango intercuartilico (RIC): RIC = Q3 − Q1.
• Puntuacion estandar (z-score): z = (x − μ) / σ.

Estadistica inferencial basica

Distribucion normal

• Distribucion normal N(μ, σ²): f(x) = (1/(σ√(2π))) · e^(-(x−μ)²/(2σ²)).
• Propiedades: simetrica respecto a μ, forma de campana, μ = mediana = moda.
• Regla empirica (68-95-99.7):
  • Aproximadamente 68% de los datos estan dentro de 1 desviacion estandar de la media: μ ± σ.
  • Aproximadamente 95% de los datos estan dentro de 2 desviaciones estandar: μ ± 2σ.
  • Aproximadamente 99.7% de los datos estan dentro de 3 desviaciones estandar: μ ± 3σ.
• Distribucion normal estandar N(0, 1): se convierte cualquier normal mediante z = (x − μ) / σ.

Intervalos de confianza

• Intervalo de confianza para la media (σ conocida): x̄ ± z_(α/2) · (σ / √n).
• Intervalo de confianza para la media (σ desconocida): x̄ ± t_(α/2, n−1) · (s / √n).
• Donde z_(α/2) es el valor critico de la distribucion normal estandar.
• Valores criticos comunes: z₀.₀₂₅ = 1.96 (95% confianza), z₀.₀₀₅ = 2.576 (99% confianza).
• El nivel de confianza es (1 − α) · 100%.
• El margen de error es E = z_(α/2) · (σ / √n) o E = t_(α/2, n−1) · (s / √n).

Prueba de hipotesis

• Hipotesis nula (H₀): afirmacion que se pone a prueba.
• Hipotesis alternativa (H₁ o Hₐ): contraria a H₀.
• Valor p (p-value): probabilidad de obtener un resultado al menos tan extremo como el observado, asumiendo que H₀ es verdadera.
• Regla de decision: si p-value < α (nivel de significancia), se rechaza H₀. Si p-value ≥ α, no se rechaza H₀.
• Error tipo I (α): rechazar H₀ cuando es verdadera.
• Error tipo II (β): no rechazar H₀ cuando es falsa.
• Potencia de la prueba: 1 − β.

Unidades y sistema SI

• Angulo solido: estereoradiante (sr).
• Flujo luminico: lumen (lm).
• Iluminancia: lux (lx) = lm/m².
• Actividad radiactiva: bequerel (Bq) = 1 desintegracion/s.
• Carga electrica: culombio (C) = A · s.
• Potencia electrica: vatio (W) = J/s.
• Energia: julio (J) = N · m = kg · m²/s².
• Frecuencia angular: rad/s.

Errores comunes / Pitfalls

• Regla de la cadena mal aplicada: olvidar multiplicar por la derivada de la funcion interna. Ejemplo: d/dx[sin(3x)] ≠ cos(3x), sino cos(3x) · 3. Siempre verificar que se multiplica por la derivada de la funcion interior.
• Signos en integrales: d/dx[cos(x)] = −sin(x), por lo que ∫sin(x) dx = −cos(x) + C (no +cos(x)). d/dx[−cos(x)] = sin(x). Cuidado con los signos negativos al integrar funciones trigonometricas.
• Confusion entre varianza y desviacion estandar: la varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado (s²), mientras que la desviacion estandar es su raiz cuadrada (s). Tienen unidades diferentes: la varianza esta en unidades al cuadrado, la desviacion en las mismas unidades que los datos.
• Interpretacion del p-value: un p-value pequeno indica evidencia en contra de H₀, pero NO es la probabilidad de que H₀ sea verdadera. El p-value es P(datos observados | H₀ verdadera). Un p-value de 0.03 significa: si H₀ fuera verdadera, habria un 3% de probabilidad de obtener datos tan extremos.
• Division por cero en la regla del cociente: la funcion denominadora g(x) no puede ser cero en ningun punto del dominio.
• Integral de 1/x: ∫1/x dx = ln|x| + C, no ln(x) + C (se necesita valor absoluto porque 1/x esta definida para x < 0).
• Serie de Taylor: recordar dividir por n! (factorial de n). Un error comun es omitir el factorial.
• Regla empirica 68-95-99.7: solo aplica para distribuciones normales. No aplicarla a distribuciones sesgadas o con colas pesadas.
• Intervalo de confianza con σ desconocida y muestras pequenas: usar distribucion t de Student, no normal estandar.

Verificacion

• Derivar el resultado de una integral para verificar que se obtiene el integrando original.
• Verificar regla de la cadena: derivar paso a paso, identificando funcion exterior e interior, y multiplicar por la derivada de la interior.
• Verificar serie de Maclaurin: calcular las primeras derivadas en x = 0 y comparar termino a termino con la serie.
• Verificar media y varianza: la suma de desviaciones respecto a la media siempre es cero: Σ(xᵢ − x̄) = 0.
• Verificar intervalo de confianza: si se repite el muestreo muchas veces, aproximadamente el (1 − α) · 100% de los intervalos contendran la verdadera media poblacional.
• Verificar valor p: si p < α, el resultado es estadisticamente significativo. Si p ≥ α, no lo es.
• Verificar convergencia de serie: usar la regla de la razon para determinar el radio de convergencia R, y verificar los extremos del intervalo a mano.