td-intersecciones-vm

name	td-intersecciones-vm
description	Intersecciones en geometría descriptiva: recta-plano, plano-plano, recta-recta. Verdadera magnitud de segmentos y ángulos.

Intersecciones y Verdadera Magnitud

Referencias de autoridad

• Ogura: Geometría Morfológica, Editorial Reverté
• Esquiroz: Dibujo Geométrico, Editorial Paraninfo
• Llagostera: Geometría Descriptiva, Editorial Teide

Intersección recta-plano

Método general

1. Plano de corte: tomar un plano auxiliar β que contenga a la recta r
   • Lo más sencillo: plano de canto (perpendicular a PH o PV)
2. Intersección β con α: encontrar la recta i = α ∩ β
   • Encontrar las trazas de i (Th_i ∈ α₁ ∩ β₁ y Tv_i ∈ α₂ ∩ β₂)
3. Intersección r con i: el punto I = r ∩ i es la intersección buscada
   • I' = r' ∩ i' e I = r ∩ i

Casos particulares

• Plano oblicuo: usar plano de corte de canto
• Plano de canto: la intersección es directa (α₁ es una línea)
• Plana horizontal: la intersección se encuentra por proyección directa

Intersección plano-plano

Método general

1. Punto A = α ∩ β: intersección con un plano auxiliar
   • Usar un plano de corte γ
   • i₁ = α ∩ γ y i₂ = β ∩ γ
   • A = i₁ ∩ i₂
2. Punto B = α ∩ β: repetir con otro plano de corte δ
3. Recta de intersección: r = AB

Casos particulares

• Dos planos paralelos a LT: sus trazas son paralelas entre sí
• Un plano horizontal y uno frontal: la intersección es una recta de perfil
• Dos planos de canto: la intersección es una recta horizontal o frontal

Intersección recta-recta

Rectas que se cortan

• I' = r₁' ∩ r₂' e I = r₁ ∩ r₂
• Las proyecciones deben coincidir en la misma vertical

Rectas que se cruzan (no se cortan)

• I' = r₁' ∩ r₂' pero I ≠ r₁ ∩ r₂ (no están en la misma vertical)
• Puntos cruzados: dos puntos que tienen la misma proyección en un plano pero distinta en el otro
  • Cruzados horizontales: misma proyección en planta, distinta en alzado
  • Cruzados verticales: misma proyección en alzado, distinta en planta

Verdadera Magnitud (VM)

Segmento en VM

• Un segmento está en VM cuando la recta que lo contiene es paralela al plano de proyección
• Recta horizontal: VM en planta
• Recta frontal: VM en alzado
• Recta oblicua: se obtiene VM por giro o cambio de plano

Método del giro

1. Girar la recta hasta que sea horizontal o frontal
2. Centro de giro: la proyección donde la recta es visible (planta si se quiere VM en planta)
3. Giro: girar la proyección hasta que sea paralela a la LT
4. VM: la otra proyección muestra la verdadera magnitud

Método del cambio de plano

1. Nuevo plano de proyección paralelo a la recta
2. Nueva línea de tierra paralela a la proyección de la recta
3. Nueva proyección: muestra la VM

Ángulo de una recta con los planos

• Ángulo con PH (α): ángulo que forma la recta con su proyección en PH
  • Se obtiene en VM de la recta
• Ángulo con PV (β): ángulo que forma la recta con su proyección en PV
  • Se obtiene en VM de la recta

Ángulo entre dos rectas

• Se cortan: llevar ambas a VM (giro o cambio de plano)
• Se cruzan: tomar un punto de una y trazar una paralela a la otra
  • Luego llevar a VM

Ángulo entre dos planos

• Plano secante: tomar un plano perpendicular a la recta de intersección
• Plano de canto: si uno de los planos es de canto, el ángulo se ve directamente
• VM del ángulo: se obtiene por cambio de plano perpendicular a la recta de intersección

Distancia de un punto a una recta

1. VM de la recta: llevar la recta a VM
2. Distancia perpendicular: trazar la perpendicular desde el punto a la recta en VM
3. La VM de esta perpendicular es la distancia real

Distancia de un punto a un plano

1. Plano de canto: llevar el plano a posición de canto (cambio de plano)
2. Distancia: la distancia del punto a la traza del plano en esa posición
3. La distancia es perpendicular al plano

Errores comunes / Pitfalls

• Plano de corte: debe contener a la recta y ser de canto (para simplificar)
• Puntos cruzados: no confundir con puntos que se cortan. Verificar que estén en la misma vertical
• VM: solo se obtiene cuando la recta es paralela al plano de proyección
• Giros: el centro de giro está en la proyección donde se gira (planta para VM en planta)
• Ángulo entre planos: se mide en un plano perpendicular a la recta de intersección
• Distancia punto-recta: la perpendicular debe trazarse en VM

Verificación

• Intersección recta-plano: ¿el punto I está en r y en α?
• Intersección plano-plano: ¿la recta de intersección está en ambos planos?
• VM: ¿la recta es paralela al plano de proyección donde se mide?
• Ángulo entre planos: ¿se mide en un plano perpendicular a la recta de intersección?
• Distancia: ¿la perpendicular es realmente perpendicular?