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description	Física avanzada: relatividad especial, mecánica cuántica básica, física estadística y campos electromagnéticos.

Física Avanzada: Relatividad, Cuántica, Estadística y Campos Electromagnéticos

Referencias de autoridad

• David J. Griffiths, "Introduction to Electrodynamics", 4.ª edición, Cambridge University Press, 2013. ISBN 978-0-521-88059-4.
• David J. Griffiths, "Introduction to Quantum Mechanics", 3.ª edición, Cambridge University Press, 2018. ISBN 978-1-107-18963-8.
• Edward M. Taylor, "Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity", 2.ª edición, W. H. Freeman, 1992. ISBN 978-0-7167-2327-3.
• Norma ISO 80000-10:2019, "Quantities and units — Part 10: Quantum physics".

Contenido clave

Relatividad Especial

• Postulados de la relatividad especial (Einstein, 1905):

  1. Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales.
  2. La velocidad de la luz en el vacío (c) es la misma para todos los observadores inerciales, independientemente del movimiento de la fuente.
  • c ≈ 2,998 × 10⁸ m/s (se redondea a 3,00 × 10⁸ m/s).

• Transformaciones de Lorentz:

  • Factor de Lorentz: γ = 1 / √(1 - v²/c²)
  • Donde v es la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia inerciales.
  • Para v << c, γ ≈ 1 y las transformaciones de Lorentz se reducen a las de Galileo.
  • Transformación de coordenadas (sistema S' moviéndose con velocidad v en la dirección x respecto a S):
    • t' = γ·(t - v·x/c²)
    • x' = γ·(x - v·t)
    • y' = y
    • z' = z
  • Transformación inversa:
    • t = γ·(t' + v·x'/c²)
    • x = γ·(x' + v·t')
    • y = y'
    • z = z'

• Dilatación del tiempo:

  • Δt' = γ·Δt₀
  • Donde Δt₀ es el tiempo propio (medido en el sistema donde los dos eventos ocurren en el mismo lugar) y Δt es el tiempo medido en un sistema que se mueve respecto al primero.
  • El tiempo propio es siempre el intervalo de tiempo más corto.
  • Un reloj en movimiento marca un tiempo más largo (se "dilata") desde la perspectiva de un observador en reposo.

• Contracción de la longitud:

  • L = L₀ / γ
  • Donde L₀ es la longitud propia (medida en el sistema en reposo respecto al objeto) y L es la longitud medida en un sistema que se mueve respecto al objeto.
  • La contracción ocurre solo en la dirección del movimiento.
  • Nota: El objeto en reposo siempre tiene la mayor longitud.

• Relatividad de la simultaneidad:

  • Dos eventos que son simultáneos en un sistema de referencia no necesariamente lo son en otro sistema en movimiento relativo.
  • Si en el sistema S dos eventos ocurren simultáneamente (Δt = 0) pero en lugares diferentes (Δx ≠ 0), en el sistema S': Δt' = -γ·v·Δx/c² ≠ 0.

• Energía y momento relativistas:

  • Energía total: E = γ·m·c² = γ·m₀·c²
  • Donde m₀ es la masa en reposo (invariante).
  • Energía en reposo: E₀ = m₀·c²
  • Energía cinética relativista: K = E - E₀ = (γ - 1)·m₀·c²
  • Para v << c, K ≈ ½·m₀·v² (se recupera la expresión clásica).
  • Momento lineal relativista: p⃗ = γ·m₀·v⃗
  • Relación energía-momento: E² = (p·c)² + (m₀·c²)²
  • Para una partícula sin masa (fotón): E = p·c

• Composición de velocidades relativista:

  • Si un objeto se mueve con velocidad u' en S', y S' se mueve con velocidad v respecto a S (ambas en la dirección x):
  • u = (u' + v) / (1 + u'·v/c²)
  • Nota: Esta fórmula garantiza que la velocidad resultante nunca excede c.

Mecánica Cuántica Básica

• Dualidad onda-partícula:

  • Los fotones (partículas de luz) exhiben propiedades ondulatorias (interferencia, difracción) y corpusculares (efecto fotoeléctrico).
  • Los electrones (partículas materiales) exhiben propiedades corpusculares y ondulatorias (experimento de doble rendija de Davisson-Germer).
  • Longitud de onda de De Broglie: λ = h / p = h / (m·v)
  • Donde h = 6,626 × 10⁻³⁴ J·s es la constante de Planck.
  • Energía del fotón: E = h·f = h·ω/(2π) = ℏ·ω
  • Donde ℏ = h/(2π) ≈ 1,055 × 10⁻³⁴ J·s es la constante de Planck reducida.

• Principio de incertidumbre de Heisenberg:

  • Δx·Δpₓ ≥ ℏ/2
  • ΔE·Δt ≥ ℏ/2
  • Nota: No se trata de limitaciones instrumentales, sino de una propiedad fundamental de la naturaleza.

• Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

  • iℏ · ∂ψ(x,t)/∂t = Ĥ·ψ(x,t)
  • Donde Ĥ es el operador hamiltoniano (operador de energía total): Ĥ = -ℏ²/(2m) · ∂²/∂x² + V(x)
  • En tres dimensiones: iℏ · ∂ψ/∂t = [-ℏ²/(2m) · ∇² + V(r⃗)] · ψ
  • Nota: Esta es la ecuación fundamental de la mecánica cuántica no relativista. Describe la evolución temporal de la función de onda.

• Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

  • Ĥ·ψ(x) = E·ψ(x)
  • -ℏ²/(2m) · d²ψ/dx² + V(x)·ψ(x) = E·ψ(x)
  • Nota: Las soluciones ψ_n(x) son autofunciones del hamiltoniano con autovalores E_n (niveles de energía).

• Interpretación probabilística (Born):

  • La densidad de probabilidad de encontrar la partícula en la posición x en el tiempo t es: P(x,t) = |ψ(x,t)|²
  • Condición de normalización: ∫ |ψ(x,t)|² dx = 1 (integral sobre todo el espacio)
  • Nota: ψ(x,t) es una amplitud de probabilidad (puede ser compleja), pero |ψ|² es siempre real y no negativa.

• Pozo de potencial infinito (partícula en una caja):

  • Potencial: V(x) = 0 para 0 < x < L; V(x) = ∞ en otro caso.
  • Funciones de onda: ψ_n(x) = √(2/L) · sen(n·π·x/L), para n = 1, 2, 3, ...
  • Niveles de energía: E_n = n²·π²·ℏ²/(2m·L²) = n²·h²/(8m·L²)
  • Nota: La energía está cuantizada. El estado fundamental (n = 1) tiene energía no nula: E₁ = h²/(8mL²). Este es el principio de energía de punto cero.

• Átomo de Bohr:

  • Postulados:
    1. El electrón orbita el núcleo en órbitas circulares estacionarias sin irradiar.
    2. El momento angular está cuantizado: L = n·ℏ, con n = 1, 2, 3, ...
    3. La radiación se emite o absorbe solo en transiciones entre niveles: ΔE = E_i - E_f = h·f
  • Radio de la órbita n-ésima: r_n = n²·a₀, donde a₀ = 4πε₀·ℏ²/(mₑ·e²) ≈ 5,29 × 10⁻¹¹ m (radio de Bohr).
  • Niveles de energía: E_n = -13,6 eV / n² (para el hidrógeno)
  • Donde e = 1,602 × 10⁻¹⁹ C es la carga elemental y mₑ = 9,109 × 10⁻³¹ kg la masa del electrón.
  • Nota: El modelo de Bohr es semi-clásico y solo es exacto para el átomo de hidrógeno.

Física Estadística

• Distribución de Maxwell-Boltzmann:

  • Describe la distribución de velocidades de las moléculas en un gas ideal en equilibrio térmico.
  • Función de distribución de velocidades:
    • f(v) = 4π·(m/(2πkT))^(3/2) · v² · exp(-m·v²/(2kT))
  • Donde k = 1,381 × 10⁻²³ J/K es la constante de Boltzmann, m la masa de la molécula y T la temperatura absoluta.
  • Velocidad más probable: v_mp = √(2kT/m) = √(2RT/M)
  • Velocidad promedio: v_prom = √(8kT/(πm)) = √(8RT/(πM))
  • Velocidad cuadrática media: v_rms = √(3kT/m) = √(3RT/M)
  • Energía cinética promedio por molécula: ⟨K⟩ = (3/2)·k·T
  • Nota: M es la masa molar y R = N_A·k la constante de los gases.

• Entropía estadística (Boltzmann):

  • S = k·ln(Ω)
  • Donde Ω es el número de microestados compatibles con un macroestado dado.
  • Nota: Esta es la definición estadística fundamental de entropía, que conecta la mecánica microscópica con la termodinámica macroscópica.

• Teorema de equipartición de la energía:

  • Cada grado de libertad cuadrático en la energía contribuye con ½·k·T a la energía promedio por partícula.
  • Para un gas monoatómico (3 grados de libertad traslacionales): U = (3/2)·N·k·T = (3/2)·n·R·T
  • Para un gas diatómico a temperatura ambiente (3 traslacionales + 2 rotacionales): U = (5/2)·N·k·T

• Entropía y la segunda ley:

  • Un sistema aislado evoluciona hacia el macroestado con mayor número de microestados (mayor Ω), es decir, mayor entropía.
  • ΔS ≥ 0 para procesos en sistemas aislados.

Campos Electromagnéticos

• Ecuaciones de Maxwell (forma diferencial):

  1. Ley de Gauss para el campo eléctrico: ∇·E⃗ = ρ/ε₀
  2. Ley de Gauss para el campo magnético: ∇·B⃗ = 0
  3. Ley de Faraday: ∇×E⃗ = -∂B⃗/∂t
  4. Ley de Ampère-Maxwell: ∇×B⃗ = μ₀·J⃗ + μ₀·ε₀·∂E⃗/∂t
  • Donde ρ es la densidad de carga volumétrica, J⃗ la densidad de corriente, ε₀ la permitividad del vacío y μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A la permeabilidad del vacío.
  • Nota: La ecuación 4 incluye la corriente de desplazamiento (μ₀·ε₀·∂E⃗/∂t) añadida por Maxwell, esencial para la consistencia con la conservación de la carga.

• Ecuaciones de Maxwell (forma integral):

  1. Ley de Gauss: ∮ E⃗ · dA⃗ = Q_enc / ε₀ (integral sobre una superficie cerrada)
  2. Ley de Gauss para el magnetismo: ∮ B⃗ · dA⃗ = 0 (integral sobre una superficie cerrada)
  3. Ley de Faraday: ∮ E⃗ · dl⃗ = -d/dt ∫ B⃗ · dA⃗ (integral de línea sobre un lazo cerrado = menos la tasa de cambio del flujo magnético)
  4. Ley de Ampère-Maxwell: ∮ B⃗ · dl⃗ = μ₀·I_enc + μ₀·ε₀·d/dt ∫ E⃗ · dA⃗ (integral de línea sobre un lazo cerrado = μ₀ veces la corriente encerrada más el término de desplazamiento)

• Relación entre constantes:

  • c = 1/√(μ₀·ε₀) ≈ 2,998 × 10⁸ m/s
  • Nota: Esta relación muestra que la luz es una onda electromagnética.

• Ondas electromagnéticas:

  • En el vacío, las ecuaciones de onda son:
    • ∇²E⃗ = μ₀·ε₀ · ∂²E⃗/∂t² = (1/c²) · ∂²E⃗/∂t²
    • ∇²B⃗ = μ₀·ε₀ · ∂²B⃗/∂t² = (1/c²) · ∂²B⃗/∂t²
  • Onda plana monocromática:
    • E⃗(x,t) = E₀ · sen(k·x - ω·t) · n̂_E
    • B⃗(x,t) = B₀ · sen(k·x - ω·t) · n̂_B
  • Relación entre amplitudes: E₀ = c·B₀
  • Dirección de propagación: S⃗ = (1/μ₀) · E⃗ × B⃗ (vector de Poynting)
  • Relación de dispersión: ω = c·k
  • Densidad de energía: u = ½·ε₀·E² + ½·(1/μ₀)·B²
  • Densidad de energía promedio (onda plana): u_prom = ½·ε₀·E₀²
  • Intensidad (promedio del vector de Poynting): I = u_prom · c = ½·ε₀·c·E₀²
  • Nota: Los campos E⃗ y B⃗ son perpendiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de propagación (onda transversal).

Unidades y sistema SI

• Velocidad de la luz: c ≈ 2,998 × 10⁸ m/s (exactamente 299 792 458 m/s)
• Constante de Planck: h = 6,626 × 10⁻³⁴ J·s
• Constante de Planck reducida: ℏ = h/(2π) ≈ 1,055 × 10⁻³⁴ J·s
• Constante de Boltzmann: k = 1,381 × 10⁻²³ J/K
• Permitividad del vacío: ε₀ ≈ 8,854 × 10⁻¹² C²/(N·m²) = F/m
• Permeabilidad del vacío: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A ≈ 1,257 × 10⁻⁶ T·m/A
• Carga elemental: e = 1,602 × 10⁻¹⁹ C
• Masa del electrón: mₑ = 9,109 × 10⁻³¹ kg
• Masa del protón: m_p = 1,673 × 10⁻²⁷ kg
• Radio de Bohr: a₀ ≈ 5,29 × 10⁻¹¹ m
• Energía equivalente: 1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J
• Energía de ionización del hidrógeno: 13,6 eV
• Número de onda: m⁻¹. Longitud de onda: m.
• Momento lineal: kg·m/s. En unidades de eV/c para relatividad.
• Campo eléctrico: V/m o N/C. Campo magnético: T (tesla).

Errores comunes / Pitfalls

• Confundir marcos de referencia en relatividad: El tiempo propio (Δt₀) siempre se mide en el sistema donde los eventos ocurren en el mismo lugar. La dilatación temporal Δt' = γ·Δt₀ se refiere al tiempo medido por un observador que ve al reloj en movimiento. No invertir estos conceptos: el reloj en movimiento "marca más lento" desde la perspectiva del observador estacionario.

• Interpretación probabilística de la función de onda: La función de onda ψ(x,t) en sí misma no tiene significado físico directo (es compleja). Solo |ψ(x,t)|² representa una densidad de probabilidad. Además, ψ debe ser normalizada: ∫|ψ|²dx = 1. No confundir la amplitud con la probabilidad.

• Forma correcta de las ecuaciones de Maxwell: Es fundamental recordar que: (1) no existen cargas magnéticas aisladas (∇·B⃗ = 0); (2) el término de desplazamiento de Maxwell (μ₀ε₀·∂E⃗/∂t) es esencial para la existencia de ondas EM; (3) los signos en la ley de Faraday son cruciales (el signo negativo representa la oposición al cambio de flujo).

• Energía cinética relativista vs. clásica: Para v > 0,1c, la expresión clásica K = ½mv² subestima significativamente la energía cinética. La expresión correcta es K = (γ - 1)m₀c². A velocidades bajas, la expansión en serie de Taylor de γ da K ≈ ½m₀v² + 3/8·m₀v⁴/c² + ...

• Relación energía-momento: La fórmula E² = (pc)² + (m₀c²)² es universal. Para partículas con masa en reposo, a bajas velocidades se recupera E ≈ m₀c² + p²/(2m₀). Para partículas sin masa (fotones), E = pc. No usar E = pc para partículas con masa.

• Cuantización del pozo infinito: Los niveles de energía crecen como n², no linealmente. El estado fundamental (n = 1) tiene energía no nula (energía de punto cero). No existe un estado con energía cero.

Verificación

• En relatividad, ¿el factor de Lorentz γ ≥ 1 siempre? (Verificar: γ = 1/√(1 - v²/c²), y v < c)
• ¿Se ha distinguido correctamente entre tiempo propio y tiempo dilatado?
• En mecánica cuántica, ¿la función de onda está normalizada?
• ¿Las ecuaciones de Schrödinger están escritas con ℏ (no h)?
• En las ecuaciones de Maxwell, ¿las unidades de cada término son consistentes? (en forma diferencial: ∇·E⃗ tiene unidades de V/m²; ρ/ε₀ también).
• En relatividad, ¿la relación E² = (pc)² + (m₀c²)² se reduce a E = pc para fotones?
• En la distribución de Maxwell-Boltzmann, ¿las tres velocidades características (más probable, promedio, rms) cumplen v_mp < v_prom < v_rms?
• ¿Las unidades de las constantes fundamentales son correctas en cada cálculo?