math-advanced

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description	Cálculo diferencial e integral (derivadas avanzadas, integrales por sustitución y partes, series de Taylor/Maclaurin), estadística descriptiva e inferencial básica (media, varianza, distribución normal, intervalos de confianza). Nivel: primer ciclo universitario.

Cálculo y Estadística Avanzados

Referencias de autoridad

• James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, Cengage Learning (9ª ed.)
• OpenStax, Introductory Statistics — openstax.org/details/books/introductory-statistics
• OpenStax, Calculus Volume 1-3 — openstax.org/details/books/calculus-volume-1
• Calculus de Michael Spivak, Publish Or Perish

Contenido clave

Cálculo diferencial

• Derivada como límite: f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h
• Regla de la suma/resta: (f ± g)' = f' ± g'
• Regla del producto: (fg)' = f'g + fg'
• Regla del cociente: (f/g)' = (f'g - fg') / g² (g ≠ 0)
• Regla de la cadena: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)
• Derivadas de funciones elementales:
  • d/dx [x^n] = nx^(n-1)
  • d/dx [e^x] = e^x
  • d/dx [ln(x)] = 1/x (x > 0)
  • d/dx [sin(x)] = cos(x)
  • d/dx [cos(x)] = -sin(x)
  • d/dx [tan(x)] = sec²(x)
  • d/dx [arcsin(x)] = 1/√(1-x²)
  • d/dx [arctan(x)] = 1/(1+x²)
• Derivadas de orden superior: f''(x) = d²f/dx², f'''(x) = d³f/dx³
• Regla de Leibniz (n-ésima derivada de producto):
  • (fg)^(n) = Σ_{k=0}^{n} C(n,k) · f^(k) · g^(n-k)
• Derivación implícita: diferenciar ambos lados respecto a x, despejar dy/dx
• Teorema del valor medio: si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), existe c ∈ (a,b) tal que f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)

Cálculo integral

• Integral definida: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) (teorema fundamental del cálculo)
• Integral indefinida: ∫ f(x) dx = F(x) + C, donde F'(x) = f(x)
• Integrales básicas:
  • ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ -1)
  • ∫ 1/x dx = ln|x| + C
  • ∫ e^x dx = e^x + C
  • ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
  • ∫ cos(x) dx = sin(x) + C
  • ∫ sec²(x) dx = tan(x) + C
  • ∫ 1/(1+x²) dx = arctan(x) + C
  • ∫ 1/√(1-x²) dx = arcsin(x) + C
• Integración por sustitución: ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du, con u = g(x)
• Integración por partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du (regla LIATE para elegir u: Logarítmica, Inversa, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial)
• Integral definida de funciones simétricas:
  • f par (f(-x) = f(x)): ∫_{-a}^{a} f(x) dx = 2∫_0^a f(x) dx
  • f impar (f(-x) = -f(x)): ∫_{-a}^{a} f(x) dx = 0

Series de Taylor y Maclaurin

• Serie de Taylor en a: f(x) = Σ_{n=0}^{∞} [f^(n)(a)/n!] · (x-a)^n
• Serie de Maclaurin (a = 0): f(x) = Σ_{n=0}^{∞} [f^(n)(0)/n!] · x^n
• Series notables:
  • e^x = Σ_{n=0}^{∞} x^n/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
  • sin(x) = Σ_{n=0}^{∞} (-1)^n · x^(2n+1)/(2n+1)! = x - x³/3! + x⁵/5! - ...
  • cos(x) = Σ_{n=0}^{∞} (-1)^n · x^(2n)/(2n)! = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ...
  • ln(1+x) = Σ_{n=1}^{∞} (-1)^(n+1) · x^n/n = x - x²/2 + x³/3 - ... (|x| ≤ 1, x ≠ -1)
  • 1/(1-x) = Σ_{n=0}^{∞} x^n = 1 + x + x² + x³ + ... (|x| < 1)
• Radio de convergencia: usar razón o raíz; verificar extremos

Estadística descriptiva

• Media aritmética: x̄ = (1/n) · Σ_{i=1}^{n} x_i
• Mediana: valor central de datos ordenados (promedio de dos centrales si n es par)
• Moda: valor más frecuente
• Varianza muestral: s² = (1/(n-1)) · Σ(x_i - x̄)²
• Varianza poblacional: σ² = (1/N) · Σ(x_i - μ)²
• Desviación típica: s = √(s²) o σ = √(σ²)
• Covarianza: cov(X,Y) = E[(X-μ_X)(Y-μ_Y)] = E[XY] - E[X]·E[Y]
• Coeficiente de correlación de Pearson: r = cov(X,Y) / (σ_X · σ_Y), -1 ≤ r ≤ 1

Estadística inferencial básica

• Distribución normal: X ~ N(μ, σ²)
  • Función de densidad: f(x) = (1/(σ√(2π))) · e^(-(x-μ)²/(2σ²))
  • Normal estándar: Z ~ N(0, 1), Z = (X - μ)/σ
  • Regla empírica: ~68% en μ±σ, ~95% en μ±2σ, ~99.7% en μ±3σ
• Intervalo de confianza para la media (σ conocida):
  • IC = x̄ ± z_(α/2) · σ/√n
  • z_0.025 = 1.96 para 95% de confianza
  • z_0.005 = 2.576 para 99% de confianza
• Intervalo de confianza (σ desconocida, usar s):
  • IC = x̄ ± t_(α/2, n-1) · s/√n (distribución t de Student)
• Valor p: probabilidad de obtener un resultado al menos tan extremo como el observado, asumiendo H₀ verdadera. Se rechaza H₀ si p < α (nivel de significación).
• Prueba de hipótesis: H₀ (hipótesis nula) vs H₁ (hipótesis alternativa). Error tipo I: rechazar H₀ siendo verdadera (α). Error tipo II: no rechazar H₀ siendo falsa (β).

Unidades y sistema SI

• Derivadas: unidades de y / unidades de x (ej: m/s para velocidad)
• Integrales: unidades de y × unidades de x (ej: m² para área bajo curva)
• Estadística: varianza en unidades², desviación en unidades originales

Errores comunes / Pitfalls

• Regla de cadena mal aplicada: olvidar multiplicar por la derivada de la función interna. d/dx [sin(3x)] = cos(3x) · 3, no solo cos(3x).
• Signos en integrales: ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, no +cos(x). El signo menos es fácil de olvidar.
• Integración por partes: elegir mal u y dv lleva a integrales más complicadas. Usar LIATE como guía.
• Confusión varianza/desviación: s² es varianza, s es desviación. La varianza está en unidades².
• Interpretación de p-value: p ≠ P(H₀ es verdadera). Es P(datos | H₀). Un p-value pequeño no prueba H₁, solo contradice H₀.
• Serie de Taylor: olvidar el término n=0 (f(0)) o confundir n! con n².
• Sustitución en integrales: cambiar límites cuando se hace sustitución en integral definida.
• n-1 en varianza muestral: usar n en lugar de n-1 produce varianza sesgada hacia abajo.

Verificación

• Derivada: verificar d/dx [F(x)] = f(x) derivando el resultado
• Integral: verificar d/dx [∫ f(x) dx] = f(x)
• Taylor: verificar que los primeros términos coinciden con la función en x = 0
• Estadística: verificar que Σ(x_i - x̄) = 0 (la suma de desviaciones respecto a la media es cero)
• Intervalo de confianza: verificar que el ancho es proporcional a 1/√n
• Regla de cadena: verificar con una función simple (ej: sin(x²)) derivando paso a paso