math-sucesiones-series

name	math-sucesiones-series
description	Sucesiones (aritméticas, geométricas), series, sumatorios, convergencia y test de convergencia.
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Sucesiones y Series

Sucesiones aritméticas

• Definición: aₙ = aₙ₋₁ + d, donde d es la diferencia común
• Término general: aₙ = a₁ + (n-1)·d
• Suma de n términos: Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) = n/2 · [2a₁ + (n-1)d]
• Propiedad: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 (término medio)

Ejemplo: 3, 7, 11, 15, ... → a₁ = 3, d = 4, a₁₀ = 3 + 9·4 = 39

Sucesiones geométricas

• Definición: aₙ = aₙ₋₁ · r, donde r es la razón común
• Término general: aₙ = a₁ · r^(n-1)
• Suma de n términos (r ≠ 1): Sₙ = a₁ · (rⁿ - 1) / (r - 1)
• Suma infinita (|r| < 1): S∞ = a₁ / (1 - r)

Ejemplo: 2, 6, 18, 54, ... → a₁ = 2, r = 3, a₁₀ = 2 · 3⁹ = 39 366

Series

• Notación sumatorio: Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ = a₁ + a₂ + ... + aₙ
• Series aritméticas infinitas: divergen (salvo d = 0)
• Series geométricas infinitas: convergen si |r| < 1

Test de convergencia

Test de la n-ésima (terminación)

Si lim(n→∞) aₙ ≠ 0, la serie Σaₙ diverge. Pitfall: Si lim = 0, NO se concluye nada (podría converger o divergir).

Series geométricas

Σ arⁿ converge si |r| < 1, diverge si |r| ≥ 1.

Serie telescópica

Σ (bₙ - bₙ₊₁) = b₁ - lim(n→∞) bₙ₊₁

Test de comparación

Si 0 ≤ aₙ ≤ bₙ y Σbₙ converge, entonces Σaₙ converge. Si 0 ≤ aₙ ≤ bₙ y Σaₙ diverge, entonces Σbₙ diverge.

Test de comparación por límites

Si lim(aₙ/bₙ) = L donde 0 < L < ∞, ambas series convergen o ambas divergen.

Test de la razón (d'Alembert)

L = lim|aₙ₊₁/aₙ|. Si L < 1: converge. Si L > 1: diverge. Si L = 1: indeterminado.

Test de la raíz (Cauchy)

L = lim |aₙ|^(1/n). Si L < 1: converge. Si L > 1: diverge. Si L = 1: indeterminado.

Test de la integral

Si f(x) es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1, entonces Σaₙ y ∫₁^∞ f(x)dx convergen o divergen juntas, donde aₙ = f(n).

Serie armónica

Σ 1/n diverge (aunque lim 1/n = 0).

Serie p

Σ 1/nᵖ converge si p > 1, diverge si p ≤ 1.

Series notables

• Armónica: Σ 1/n → diverge
• p-series: Σ 1/nᵖ → converge si p > 1
• Geométrica: Σ arⁿ → converge si |r| < 1

Errores comunes / Pitfalls

• Confundir d y r: en aritmética se suma d, en geométrica se multiplica por r
• Suma geométrica infinita: solo aplica si |r| < 1. Si r ≥ 1, la serie diverge
• Test de la n-ésima: lim = 0 NO implica convergencia (ej: serie armónica)
• Índices del sumatorio: Σᵢ₌₀ⁿ ≠ Σᵢ₌₁ⁿ. Verificar el índice de inicio
• Fórmula de suma geométrica: Sₙ = a₁(rⁿ - 1)/(r - 1) = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r). Son equivalentes pero cuidado con signos

Verificación

• Verificar término general calculando los primeros 3-4 términos manualmente
• En series geométricas infinitas: ¿|r| < 1?
• Aplicar test de la n-ésima antes de tests más complejos
• Para series con factoriales: usar test de la razón
• Para series con potencias n-ésimas: usar test de la raíz