math-guide

name	math-guide
description	Gerar guia matemático em PDF para provas de artigos com modelos formais
argument-hint	[arquivo do paper com provas formais]
allowed-tools	["Read","Write","Edit","Bash","Glob","Grep"]

Math Guide — Guia Matemático para Provas Formais

Gera um RMarkdown compilado em PDF que serve como guia autocontido de matemática para as provas de um paper com modelo formal. Não é livro-texto — é um documento focado que explica exatamente o que o leitor precisa saber para acompanhar cada demonstração.

Público-alvo

Pesquisador com background em:

• Cálculo de uma variável (derivada, integral, TVI)
• Análise real básica (continuidade, convergência)
• Álgebra linear básica (autovalores)
• Game theory de graduação (Nash, intuição de ponto fixo)

Ajustar o nível se o usuário especificar outro background.

Processo

Fase 1: Extração

1. Ler o paper completo — incluir apêndices.
2. Catalogar todos os resultados formais: proposições, lemas, corolários, teoremas, provas (inclusive proof sketches e provas em apêndice).
3. Para cada prova, identificar as ferramentas matemáticas: quais teoremas, definições e técnicas são usados. Exemplos típicos:
   • Teoremas de ponto fixo (Brouwer, Banach/contração, Tarski, Kakutani, Schauder)
   • Teorema do Valor Intermediário, Teorema do Valor Médio
   • Análise de sinal via derivada
   • Teoria da ordem: lattices, mapas isotones, jogos supermodulares
   • Estática comparativa monótona (Milgrom & Roberts 1990, Topkis)
   • Distribuições log-côncavas e suas propriedades
   • Raio espectral, Perron-Frobenius, Gershgorin
   • Convergência dominada de Lebesgue
   • Topologia: compacidade, convexidade, espaços métricos completos
   • Correspondências (upper/lower hemicontinuity), Teorema do Máximo de Berge
   • Programação dinâmica, princípio da otimalidade de Bellman
   • Outros conforme o paper exigir

Fase 2: Estruturação

Organizar o guia nas seguintes seções:

1. Introdução — objetivo, pré-requisitos assumidos, notação do paper
2. Mapa: Prova → Pré-requisito — tabela-resumo ligando cada resultado formal à ferramenta matemática e à seção do guia
3. Seções temáticas (uma por tópico matemático necessário), cada uma contendo:
   • Enunciado formal do teorema/definição (em ambiente \begin{theorem})
   • Intuição em linguagem acessível
   • Prova ou sketch da prova quando instrutivo
   • Exemplo concreto (numérico quando possível)
   • Conexão explícita com a prova do paper ("Na Proposição X, esse teorema é usado para...")
   • Referências de livros-texto com capítulo/teorema específico
4. Exercícios por seção — 5 a 7 exercícios em escadinha de dificuldade:
   • Exercícios 1-2: verificação direta / cálculo simples
   • Exercícios 3-4: aplicação do conceito ao operador/modelo do paper
   • Exercícios 5-6: prova curta ou generalização
   • Exercício 7 (se houver): conexão entre temas ou contra-exemplo
   • Cada bloco termina com "Soluções na Seção X"
5. Referências de livros-texto — tabela por tópico com referência principal e alternativa (com capítulo/teorema)
6. Soluções dos exercícios — soluções completas e detalhadas, organizadas por seção

Fase 3: Geração do RMarkdown

Criar arquivo .Rmd com:

YAML header:

---
title: "Guia Matemático para as Provas do Paper"
subtitle: "[título do paper]"
author: "Documento auxiliar"
date: "`r Sys.Date()`"
output:
  pdf_document:
    latex_engine: xelatex
    toc: true
    toc_depth: 3
    number_sections: true
header-includes:
  - \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
  - \usepackage{booktabs}
  - \usepackage{hyperref}
  - \newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
  - \newtheorem{definition}[theorem]{Definição}
  - \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposição}
  - \newtheorem{corollary}[theorem]{Corolário}
  - \newtheorem{lemma}[theorem]{Lema}
  - \newtheorem{example}[theorem]{Exemplo}
  - \newtheorem{remark}[theorem]{Observação}
  - \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
  - \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
  - \setlength{\parskip}{0.5em}
---

Figuras R: Incluir gráficos ilustrativos quando ajudarem (e.g., análise de sinal, ponto fixo visual, convergência). Usar fig.cap para legendas.

Cuidados com LaTeX:

• Em ambientes \begin{theorem}[...], se o texto entre colchetes contém [ ou ], envolver com {...}: \begin{theorem}[{texto com $[0,1]$}]
• Não usar \usepackage{mathtools} (causa problemas com TinyTeX desatualizado)
• Não usar \usepackage{tikz} salvo se necessário e testado

Fase 4: Compilação

1. Salvar o .Rmd no mesmo diretório do paper (ou onde o usuário indicar)
2. Compilar com rmarkdown::render() via Bash
3. Se houver erro LaTeX:
   • Identificar o pacote/comando problemático
   • Substituir por alternativa compatível
   • Recompilar
4. Reportar número de páginas do PDF final

Regras

• Língua: português brasileiro para o texto, notação matemática em inglês conforme convenção
• Tamanho alvo: 15-25 páginas (sem exercícios ~12-18, com exercícios ~20-30)
• Autocontido: o leitor não precisa abrir outro livro para entender o guia. As referências são para quem quiser ir mais fundo
• Conectado ao paper: toda definição/teorema deve ter uma subseção "Conexão com o paper" dizendo onde é usado
• Exercícios graduados: sempre do mais fácil ao mais difícil, com saltos pequenos. O exercício mais fácil deve ser acessível a alguém que acabou de ler a seção. O mais difícil deve exigir combinar ideias
• Soluções completas: não apenas "a resposta é X", mas o raciocínio passo a passo
• Sem over-engineering: não explicar tópicos que não aparecem nas provas do paper

Formato de saída

[diretório]/math_guide_proofs.Rmd  (fonte)
[diretório]/math_guide_proofs.pdf  (compilado)

Checklist final

• PDF compila sem erros
• Todas as proposições/lemas/corolários do paper estão mapeados na tabela
• Cada teorema tem: enunciado formal, intuição, exemplo, conexão com o paper
• Referências de livros-texto com capítulos específicos
• 5-7 exercícios por tema, em escadinha de dificuldade
• Soluções completas no final