math-basics

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description	Aritmética, álgebra elemental, proporcionalidad, porcentajes, ecuaciones de 1º y 2º grado, notación científica, fracciones, potencias, raíces, MCD/MCM, desigualdades simples.
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Fundamentos de Matemáticas

Referencias de autoridad

• Khan Academy — Algebra 1 (khanacademy.org/math/algebra)
• Larson, R. & Edwards, B. — Algebra and Trigonometry, Cengage Learning
• Stewart, J. — Precalculus, Cengage Learning (capítulos introductorios)
• NCTM — Principles and Standards for School Mathematics

Contenido clave

Aritmética y números

• Operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación, división
• Jerarquía de operaciones (PEMDAS): paréntesis, exponentes, multiplicación/división (izquierda a derecha), suma/resta (izquierda a derecha)
• Números enteros, racionales, irracionales, reales
• Propiedades: conmutativa, asociativa, distributiva, elemento neutro, inverso

Fracciones

• Simplificación: dividir numerador y denominador por MCD
• Suma/Resta: denominador común = MCM de denominadores
• Multiplicación: numerador × numerador, denominador × denominador
• División: multiplicar por la inversa
• Fracción como operador: ¾ de 20 = (¾) × 20 = 15

Potencias y raíces

• Propiedades: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a⁰ = 1 (a ≠ 0)
• Raíz n-ésima: ⁿ√a = a^(1/n)
• ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b, ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b
• Raíz de raíz: ⁱ√(ⁿ√a) = ⁱⁿ√a = ⁱⁿ√a

Notación científica

• Formato: a × 10ⁿ donde 1 ≤ |a| < 10 y n es entero
• Conversión: mover decimal n posiciones; si se mueve a la derecha, n > 0; si a la izquierda, n < 0
• Operaciones: multiplicar coeficientes y sumar exponentes; dividir coeficientes y restar exponentes

Porcentajes y proporcionalidad

• Porcentaje: p% = p/100. x es p% de y → x = (p/100) · y
• Incremento/disminución: nuevo valor = valor × (1 ± p/100)
• Proporcionalidad directa: y = kx, k = y/x constante
• Regla de tres simple: a/b = c/x → x = (b·c)/a

Ecuaciones de primer grado

• Forma: ax + b = 0 → x = -b/a (a ≠ 0)
• Método: aislar x pasando términos por el otro lado CAMBIANDO de signo
• Verificación: sustituir la solución en la ecuación original

Ecuaciones de segundo grado

• Forma: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
• Fórmula: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
• Discriminante: Δ = b² - 4ac
  • Δ > 0: dos soluciones reales distintas
  • Δ = 0: una solución real doble (raíz repetida)
  • Δ < 0: no hay soluciones reales (dos complejas conjugadas)
• Factorización: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)
• Relación de Vieta: x₁ + x₂ = -b/a, x₁ · x₂ = c/a
• Vértice de la parábola: xᵥ = -b/(2a), yᵥ = f(xᵥ)

MCD y MCM

• MCD(m, n): máximo divisor común. Algoritmo de Euclides: MCD(a, b) = MCD(b, a mod b) hasta resto = 0
• MCM(m, n): mínimo común múltiplo. MCM(a, b) = |a·b| / MCD(a, b)
• Relación: MCD(a, b) · MCM(a, b) = |a·b|

Desigualdades

• Propiedades: si a < b y c > 0, entonces ac < bc. Si c < 0, se INVIERTE el sentido: ac > bc
• Desigualdad triangular: |a + b| ≤ |a| + |b|
• Valor absoluto: |x| = x si x ≥ 0, -x si x < 0
• |x| < a (a > 0) → -a < x < a
• |x| > a (a > 0) → x > a ó x < -a

Unidades y sistema SI

• No aplica directamente (matemáticas puras), pero las cantidades aplicadas usan unidades SI:
  • Longitud: metro (m)
  • Masa: kilogramo (kg)
  • Tiempo: segundo (s)
  • Verificar coherencia dimensional en ecuaciones físicas

Errores comunes / Pitfalls

• Signo en ecuación cuadrática: el término -b en la fórmula ya incluye el signo de b. Si b es negativo (-3), entonces -b = +3. No hacer doble cambio de signo.
• Orden de operaciones: 2 + 3 × 4 = 14, NO 20. La multiplicación va antes que la suma.
• Simplificación de fracciones: 6/8 = 3/4 (dividir por MCD = 2), NO 6/8 = 5/7.
• Raíz de producto: √(a + b) ≠ √a + √b. Solo se distribuye sobre multiplicación/división.
• Potencias negativas: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, NO -aⁿ.
• División por cero: x = -b/a requiere a ≠ 0. Si a = 0, la ecuación no es de 1º grado.
• Regla de tres inversa: si y = k/x, entonces x₁y₁ = x₂y₂, NO x₁/y₁ = x₂/y₂.
• Desigualdad con negativo: al multiplicar/dividir por negativo, invertir el sentido. 2x < 6 → x < 3, pero -2x < 6 → x > -3.

Verificación

• Ecuación de 1º grado: sustituir x = -b/a en ax + b = 0 y verificar que da 0
• Ecuación de 2º grado: verificar que ambas raíces satisfacen ax² + bx + c = 0
• Ecuación de 2º grado: verificar relación de Vieta (suma y producto de raíces)
• Fracciones: convertir resultado a decimal y comparar con cálculo directo
• Notación científica: verificar que el coeficiente está entre 1 y 10 (valor absoluto)
• MCD/MCM: verificar que MCD divide a ambos y MCM es múltiplo de ambos
• Porcentaje: verificar que (resultado / original) × 100 = porcentaje indicado
• Desigualdad: probar un valor en la solución y uno fuera para verificar sentido