math-basics

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description	Aritmética, álgebra elemental, proporcionalidad, porcentajes, ecuaciones de primer y segundo grado, notación científica, fracciones, potencias, raíces, MCD/MCM y desigualdades simples.
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Matemáticas Básicas

Referencias de autoridad

• Libro: Algebra 1 de Ray C. Jurgensen, Richard G. Brown, Kenneth R. Lowe (Editorial: Glencoe/McGraw-Hill)
• Libro: Khan Academy Algebra 1 — recurso educativo en línea (https://es.khanacademy.org/math/algebra)
• Libro: Álgebra de Baldor de Aurelio Baldor (Editorial: Grupo Editorial Patria), ISBN: 978-607-436-808-3
• Norma ISO 80000-2:2019 — Grandezas et unités, sección de álgebra y notación matemática

Contenido clave

Aritmética fundamental

• Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división de números enteros, racionales e irracionales.
• Orden de operaciones (PEMDAS): Paréntesis, Exponentes, Multiplicación y División (de izquierda a derecha), Suma y Resta (de izquierda a derecha).
• Propiedad conmutativa: a + b = b + a y a · b = b · a.
• Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) y (a · b) · c = a · (b · c).
• Propiedad distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c.

Fracciones

• Suma y resta: a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d).
• Multiplicación: a/b · c/d = (a·c) / (b·d).
• División: a/b ÷ c/d = a/b · d/c = (a·d) / (b·c).
• Simplificación: dividir numerador y denominador por su máximo común divisor (MCD).
• Fracción equivalente: a/b = (a·k) / (b·k) para cualquier k ≠ 0.

Potencias y raíces

• aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ (producto de potencias de igual base).
• aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (cociente de potencias de igual base).
• (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ (potencia de potencia).
• a⁰ = 1 para a ≠ 0.
• a⁻ⁿ = 1 / aⁿ para a ≠ 0.
• Raíz n-ésima: ⁿ√a = a¹/ⁿ.
• ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b.
• ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b (con b ≠ 0).
• √(a²) = |a| (valor absoluto, no simplemente a).

Notación científica

• Un número en notación científica se escribe como a × 10ⁿ, donde 1 ≤ |a| < 10 y n es un entero.
• Multiplicación: (a × 10ᵐ) · (b × 10ⁿ) = (a·b) × 10ᵐ⁺ⁿ.
• División: (a × 10ᵐ) / (b × 10ⁿ) = (a/b) × 10ᵐ⁻ⁿ.
• Conversión de notación científica a notación decimal: desplazar el punto decimal n posiciones a la derecha (n > 0) o a la izquierda (n < 0).

MCD y MCM

• Máximo Común Divisor (MCD): el mayor entero positivo que divide a ambos números.
• Mínimo Común Múltiplo (MCM): el menor entero positivo divisible por ambos números.
• Relación: MCD(a, b) · MCM(a, b) = |a · b|.
• Algoritmo de Euclides para MCD: MCD(a, b) = MCD(b, r) donde r es el residuo de a ÷ b.

Proporcionalidad y porcentajes

• Proporción directa: si y = k · x, entonces y es directamente proporcional a x con constante k.
• Proporción inversa: si y = k / x, entonces y es inversamente proporcional a x.
• Porcentaje: p% de x = (p/100) · x.
• Cambio porcentual: Δ% = ((valor_final − valor_inicial) / valor_inicial) × 100%.
• Porcentaje de aumento: valor_inicial × (1 + p/100).
• Porcentaje de descuento: valor_original × (1 − p/100).

Ecuaciones de primer grado

• Forma general: a · x + b = 0, con a ≠ 0.
• Solución: x = −b / a.
• Pasos: aislar el término con x pasando los demás términos al otro lado del signo igual, cambiar de signo al pasar, y dividir por el coeficiente de x.

Ecuaciones de segundo grado (fórmula cuadrática)

• Forma general: a · x² + b · x + c = 0, con a ≠ 0.
• Fórmula cuadrática: x = (−b ± √(b² − 4·a·c)) / (2·a).
• Discriminante: Δ = b² − 4·a·c.
  • Si Δ > 0: dos soluciones reales distintas.
  • Si Δ = 0: una solución real doble (raíz repetida).
  • Si Δ < 0: dos soluciones complejas conjugadas.
• Relación de Vieta: si x₁ y x₂ son las raíces, entonces x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a.
• Factorización: a·x² + b·x + c = a · (x − x₁) · (x − x₂).

Desigualdades simples

• Desigualdad lineal: a · x + b > 0 (o ≥, <, ≤).
• Regla: al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo, se invierte el sentido de la desigualdad.
• Desigualdad cuadrática: a·x² + b·x + c > 0. Se resuelve hallando las raíces y analizando el signo en cada intervalo.
• Desigualdad con valor absoluto: |x| < a (con a > 0) equivale a −a < x < a. |x| > a equivale a x < −a o x > a.

Unidades y sistema SI

• Longitud: metro (m). 1 km = 1000 m. 1 cm = 0,01 m. 1 mm = 0,001 m.
• Masa: kilogramo (kg). 1 g = 0,001 kg. 1 mg = 0,000001 kg.
• Tiempo: segundo (s). 1 min = 60 s. 1 h = 3600 s.
• Área: metro cuadrado (m²). 1 cm² = 0,0001 m².
• Volumen: metro cúbico (m³). 1 litro (L) = 0,001 m³ = 1 dm³.
• Velocidad: metro por segundo (m/s). 1 km/h = (1/3,6) m/s.
• Densidad: kilogramo por metro cúbico (kg/m³).

Errores comunes / Pitfalls

• Signo en la fórmula cuadrática: olvidar el signo negativo en −b o en −4·a·c. Verificar siempre: x = (−b ± √Δ) / (2a).
• Orden de operaciones (PEMDAS): realizar multiplicaciones y divisiones antes que sumas y restas. Evaluar primero paréntesis, luego exponentes.
• Simplificación de fracciones: dividir solo numerador y denominador por un factor común. No simplificar términos que se suman o restan (por ejemplo, (a + b)/c ≠ a/c + b/c no es válido como simplificación, solo como expansión).
• Raíz cuadrada de un cuadrado: √(x²) = |x|, no x. Si x puede ser negativo, el resultado siempre es no negativo.
• Potencia negativa: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. No confundir con −aⁿ (que es el negativo de aⁿ).
• Proporcionalidad inversa: si una variable se duplica, la otra se reduce a la mitad. No aplicar la regla de proporcionalidad directa por error.
• Porcentaje de cambio: siempre usar el valor original como denominador, no el valor final.
• Desigualdad con número negativo: al multiplicar o dividir por un número negativo, invertir el sentido de la desigualdad.

Verificación

• Resolver una ecuación sustituyendo la solución obtenida en la ecuación original para verificar que se cumple.
• En ecuaciones cuadráticas, comprobar que la suma de raíces es −b/a y el producto es c/a (relación de Vieta).
• En proporciones, verificar que a/b = c/d multiplicando en cruz: a·d = b·c.
• En porcentajes, verificar que el porcentaje calculado aplicado al valor original devuelve el valor indicado.
• En notación científica, verificar que el coeficiente a cumple 1 ≤ |a| < 10.
• En fracciones, verificar que MCD(numerador, denominador) = 1 tras la simplificación.
• En desigualdades, probar un valor dentro de la solución y uno fuera para confirmar los intervalos.