math-intermediate

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description	Funciones (lineal, cuadrática, exponencial, logarítmica, trigonométrica), identidades trigonométricas, logaritmos, matrices básicas, vectores en R² y R³, y sucesiones aritméticas y geométricas.
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Matemáticas Intermedias

Referencias de autoridad

• Libro: Precálculo de Ron Larson y Ron LaHoste (Editorial: Cengage Learning), ISBN: 978-970-26-1174-8
• Libro: Stewart Precálculo: Matemáticas para el Cálculo de James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson (Editorial: Cengage Learning), ISBN: 978-607-526-603-1
• Libro: Khan Academy Precalculus — recurso educativo en línea (https://es.khanacademy.org/math/precalculus)
• Libro: Precalculus de Robert Blumenthal, William Mendenhall, Richard Gersting (Editorial: Cengage Learning), ISBN: 978-1-133-94977-1

Contenido clave

Funciones lineales

• Forma general: f(x) = m · x + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.
• Pendiente entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂): m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
• Recta horizontal: m = 0, f(x) = b.
• Recta vertical: pendiente indefinida, x = constante.
• Forma punto-pendiente: y − y₁ = m · (x − x₁).
• Forma general: A · x + B · y + C = 0.

Funciones cuadráticas

• Forma estándar: f(x) = a · x² + b · x + c, con a ≠ 0.
• Forma vértice: f(x) = a · (x − h)² + k, donde (h, k) es el vértice.
• Coordenada x del vértice: h = −b / (2·a).
• Coordenada y del vértice: k = f(h) = c − b² / (4·a).
• Eje de simetría: x = h = −b / (2·a).
• Si a > 0, la parábola abre hacia arriba (mínimo en el vértice). Si a < 0, abre hacia abajo (máximo en el vértice).

Funciones exponenciales

• Forma general: f(x) = a · bˣ, con b > 0 y b ≠ 1.
• Base natural: f(x) = a · eˣ, donde e ≈ 2,71828...
• Crecimiento exponencial: b > 1. Decaimiento exponencial: 0 < b < 1.
• Propiedad: bˣ · bʸ = bˣ⁺ʸ.
• Propiedad: bˣ / bʸ = bˣ⁻ʸ.
• Propiedad: (bˣ)ʸ = bˣʸ.

Funciones logarítmicas

• Definición: y = log_b(x) equivale a bʸ = x, con b > 0, b ≠ 1, x > 0.
• Logaritmo natural: ln(x) = log_e(x).
• Logaritmo decimal: log(x) = log₁₀(x).
• Propiedad del producto: log_b(M · N) = log_b(M) + log_b(N).
• Propiedad del cociente: log_b(M / N) = log_b(M) − log_b(N).
• Propiedad de la potencia: log_b(Mᵖ) = p · log_b(M).
• Cambio de base: log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log(x) / log(b).
• ln(e) = 1, log(10) = 1, log_b(1) = 0.

Funciones trigonométricas

• Seno: sin(θ) = cateto_opuesto / hipotenusa (en triángulo rectángulo).
• Coseno: cos(θ) = cateto_adyacente / hipotenusa.
• Tangente: tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = cateto_opuesto / cateto_adyacente.
• Cotangente: cot(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sin(θ).
• Secante: sec(θ) = 1 / cos(θ).
• Cosecante: csc(θ) = 1 / sin(θ).
• Radianes a grados: grados = radianes × 180/π.
• Grados a radianes: radianes = grados × π/180.
• Valores notables:
  • sin(0) = 0, cos(0) = 1, tan(0) = 0.
  • sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2, tan(π/6) = √3/3.
  • sin(π/4) = √2/2, cos(π/4) = √2/2, tan(π/4) = 1.
  • sin(π/3) = √3/2, cos(π/3) = 1/2, tan(π/3) = √3.
  • sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0, tan(π/2) no está definida.

Identidades trigonométricas fundamentales

• Identidad pitagórica: sin²(θ) + cos²(θ) = 1.
• Identidades derivadas: 1 + tan²(θ) = sec²(θ) y 1 + cot²(θ) = csc²(θ).
• Ángulo doble: sin(2θ) = 2·sin(θ)·cos(θ).
• Ángulo doble: cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ) = 2·cos²(θ) − 1 = 1 − 2·sin²(θ).
• Ángulo medio: sin²(θ) = (1 − cos(2θ)) / 2.
• Ángulo medio: cos²(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2.
• Suma de ángulos: sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β).
• Suma de ángulos: cos(α + β) = cos(α)·cos(β) − sin(α)·sin(β).
• Diferencia de ángulos: sin(α − β) = sin(α)·cos(β) − cos(α)·sin(β).
• Diferencia de ángulos: cos(α − β) = cos(α)·cos(β) + sin(α)·sin(β).

Matrices básicas

• Matriz m × n: arreglo rectangular con m filas y n columnas.
• Suma de matrices: (A + B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ + Bⱼ, matrices deben tener las mismas dimensiones.
• Multiplicación por escalar: (k · A)ᵢⱼ = k · Aᵢⱼ.
• Multiplicación de matrices: (A · B)ᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ · Bₖⱼ. A tiene n columnas, B tiene n filas.
• Matriz identidad Iₙ: diagonal principal con unos, ceros en el resto. A · I = I · A = A.
• Determinante 2 × 2: det([[a, b], [c, d]]) = a·d − b·c.
• Determinante 3 × 3 (regla de Sarrus o cofactores): det([[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]) = a·(e·i − f·h) − b·(d·i − f·g) + c·(d·h − e·g).
• Matriz inversa 2 × 2: A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, −b], [−c, a]] para A = [[a,b],[c,d]].
• Transpuesta: Aᵀ intercambia filas por columnas. (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ.

Vectores en R² y R³

• Vector en R²: v = (v₁, v₂). Vector en R³: v = (v₁, v₂, v₃).
• Magnitud: |v| = √(v₁² + v₂²) en R²; |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²) en R³.
• Suma de vectores: u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂) en R².
• Producto escalar (producto punto): u · v = u₁·v₁ + u₂·v₂ en R²; u · v = u₁·v₁ + u₂·v₂ + u₃·v₃ en R³.
• Producto escalar geométrico: u · v = |u| · |v| · cos(θ), donde θ es el ángulo entre u y v.
• Ángulo entre vectores: cos(θ) = (u · v) / (|u| · |v|).
• Vectores ortogonales: u · v = 0.
• Producto vectorial (solo en R³): u × v = (u₂·v₃ − u₃·v₂, u₃·v₁ − u₁·v₃, u₁·v₂ − u₂·v₁).
• Producto vectorial en forma de determinante: u × v = det([[i, j, k], [u₁, u₂, u₃], [v₁, v₂, v₃]]).
• Magnitud del producto vectorial: |u × v| = |u| · |v| · sin(θ).
• Producto mixto: u · (v × w) = det([[u₁, u₂, u₃], [v₁, v₂, v₃], [w₁, w₂, w₃]]).

Sucesiones aritméticas

• Definición: aₙ = aₙ₋₁ + d, donde d es la diferencia común.
• Término general: aₙ = a₁ + (n − 1) · d.
• Suma de los primeros n términos: Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d).
• Propiedad: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 (media aritmética).

Sucesiones geométricas

• Definición: aₙ = aₙ₋₁ · r, donde r es la razón común.
• Término general: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹.
• Suma de los primeros n términos (r ≠ 1): Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1).
• Suma de serie geométrica infinita (|r| < 1): S = a₁ / (1 − r).
• Propiedad: aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁ (media geométrica, con términos positivos).

Unidades y sistema SI

• Ángulo plano: radián (rad). 1 vuelta completa = 2π rad = 360°.
• Frecuencia: hercio (Hz) = 1/s.
• Velocidad angular: rad/s.
• Área: m². 1 cm² = 10⁻⁴ m².
• Volumen: m³. 1 L = 10⁻³ m³ = 1 dm³.
• Densidad: kg/m³. 1 g/cm³ = 1000 kg/m³.

Errores comunes / Pitfalls

• Confusión entre logaritmo natural y base 10: ln(x) = log_e(x) y log(x) = log₁₀(x). No confundir las bases. Al aplicar cambio de base, recordar log_b(x) = ln(x) / ln(b).
• Identidad trigonométrica no cuadrada: sin²(θ) + cos²(θ) = 1, no sin(θ) + cos(θ) = 1. La identidad involucra los cuadrados de las funciones, no las funciones directamente.
• Producto escalar vs producto vectorial: el producto escalar u · v es un número (escalar), mientras que u × v es un vector (solo definido en R³). No confundir sus fórmulas ni sus resultados.
• Producto vectorial no es conmutativo: u × v = −(v × u). El orden importa.
• Dominio de logaritmos: log_b(x) solo está definido para x > 0. No aplicar logaritmo a números negativos o cero.
• División por cero en matrices: una matriz es singular (no invertible) si su determinante es cero. Verificar det(A) ≠ 0 antes de calcular A⁻¹.
• Raíz de producto: √(a · b) = √a · √b solo es válido para a ≥ 0 y b ≥ 0. Con números negativos, usar números complejos.
• Pendiente de recta vertical: es indefinida, no cero. La ecuación es x = constante.

Verificación

• Verificar identidad trigonométrica evaluando ambos lados con un ángulo notacional (por ejemplo, π/4) y comparando resultados.
• Verificar determinante 2×2: det(A) = a·d − b·c. Si det(A) = 0, la matriz no tiene inversa.
• Verificar producto escalar: u · v = |u| · |v| · cos(θ). Calcular por ambas fórmulas y comparar.
• Verificar producto vectorial: u × v debe ser ortogonal a ambos u y v (su producto escalar con cada uno debe ser 0).
• Verificar fórmula de término general de sucesión: calcular a₁, a₂, a₃ directamente y comparar con la fórmula.
• Verificar suma de serie geométrica infinita: solo converge si |r| < 1. Si |r| ≥ 1, la suma diverge.
• Verificar inversa de matriz 2×2: A · A⁻¹ debe dar la matriz identidad I₂.